Evalúa la integral doble de (x + y)/(x² + y²) sobre la región encerrada por el lazo de la curva x³ + y³ = 3xy.

Step-by-step solution

1. 1

   Pasa la curva frontera a forma polar. Con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ la curva $x^3+y^3=3xy$ se convierte en $r^3(\cos^3\theta+\sin^3\theta)=3r^2\cos\theta\sin\theta$, así que para $r\neq0$

   $r_{\max}(\theta)=\frac{3\cos\theta\sin\theta}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}$

   Esto se anula en $\theta=0$ y en $\theta=\pi/2$ y es positivo entre ambos, así que $\theta\in[0,\pi/2]$ recorre exactamente el lazo: la parte acotada del folium.

2. 2

   Convierte el integrando y observa cómo se cancela el jacobiano.

   $\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{r(\cos\theta+\sin\theta)}{r^2}=\frac{\cos\theta+\sin\theta}{r}$

   Como $dA=r\,dr\,d\theta$, el $r$ del jacobiano cancela el $1/r$: el integrando en coordenadas polares queda libre de $r$ por completo. Esa es la razón de que esta región tan incómoda resulte tratable.

3. 3

   Haz la integral interior en una sola línea. Como ya no queda dependencia de $r$,

   $I=\int_0^{\pi/2}(\cos\theta+\sin\theta)\,r_{\max}(\theta)\,d\theta=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta(\cos\theta+\sin\theta)}{\cos^3\theta+\sin^3\theta}\,d\theta$

4. 4

   Cancela con la identidad de la suma de cubos. Como $\cos^3\theta+\sin^3\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(1-\cos\theta\sin\theta)$ (el factor del medio se simplifica con $\cos^2+\sin^2=1$), el factor $\cos\theta+\sin\theta$ se cancela:

   $I=\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}\,d\theta$

   Observa que $1-\cos\theta\sin\theta\ge\tfrac12$, así que la integral es propia: nada se dispara.

5. 5

   Redúcelo a una integral de Weierstrass estándar. Escribiendo $\cos\theta\sin\theta=\tfrac12\sin2\theta$ y sustituyendo $\varphi=2\theta$:

   $I=\frac{1}{2}\int_0^{\pi}\frac{3\sin\varphi}{2-\sin\varphi}\,d\varphi=\frac{3}{2}\left[-\pi+2\int_0^{\pi}\frac{d\varphi}{2-\sin\varphi}\right]$

   La sustitución del ángulo mitad $t=\tan(\varphi/2)$ convierte la integral restante en $\int_0^{\infty}\frac{dt}{t^2-t+1}=\frac{4\pi}{3\sqrt3}$.

6. 6

   Arma la forma cerrada y compruébala numéricamente.

   $I=\frac{3}{2}\left(-\pi+\frac{8\pi}{3\sqrt3}\right)=\frac{4\pi}{\sqrt3}-\frac{3\pi}{2}=\frac{4\sqrt3\,\pi}{3}-\frac{3\pi}{2}$

   Numéricamente $7.255197-4.712389=2.5428085$, que coincide con la regla de Simpson aplicada directamente a $\int_0^{\pi/2}\frac{3\cos\theta\sin\theta}{1-\cos\theta\sin\theta}d\theta$ hasta siete decimales ✓.