Calcular la integral doble de (4 − y) sobre la región D limitada por las rectas x = 4, y = −2 y x − y = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Hallar los tres vértices. Cortando las rectas frontera de dos en dos: $x=4$ con $y=-2$ da $(4,-2)$; $x=4$ con $y=x$ da $(4,4)$; $y=-2$ con $y=x$ da $(-2,-2)$. Así, $D$ es el triángulo de vértices $(-2,-2)$, $(4,-2)$ y $(4,4)$.

2. 2

   Elegir un orden de integración. Barrer en vertical es lo más sencillo: para cada $x$ entre $-2$ y $4$, la franja va desde el lado inferior $y=-2$ hasta el lado inclinado $y=x$. Eso da $\displaystyle\int_{-2}^{4}\!\!\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy\,dx$. Nótese que $x\ge -2$ en todo el recorrido, así que el límite superior nunca queda por debajo del inferior.

3. 3

   Calcular la integral interior en $y$. $\displaystyle\int_{-2}^{x}(4-y)\,dy=\left[4y-\frac{y^2}{2}\right]_{-2}^{x}=\left(4x-\frac{x^2}{2}\right)-\left(-8-2\right)=4x-\frac{x^2}{2}+10$.

4. 4

   Calcular la integral exterior en $x$. $\displaystyle\int_{-2}^{4}\left(4x-\frac{x^2}{2}+10\right)dx=\left[2x^2-\frac{x^3}{6}+10x\right]_{-2}^{4}$.

5. 5

   Evaluar en los dos límites. En $x=4$: $32-\frac{64}{6}+40=72-\frac{32}{3}=\frac{184}{3}$. En $x=-2$: $8+\frac{8}{6}-20=-12+\frac43=-\frac{32}{3}$. La diferencia es $\frac{184}{3}+\frac{32}{3}=\frac{216}{3}=72$.

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   Contrastar con el atajo del centroide. El triángulo tiene área $\tfrac12\cdot 6\cdot 6=18$ y centroide $\bar y=\frac{-2-2+4}{3}=0$, de modo que $\iint_D(4-y)\,dA=4\cdot 18-18\bar y=72-0=72$. Una evaluación numérica de la integral iterada por el método de Simpson también devuelve $72.0$.