¿Es derivable el dilogaritmo Li2(x) en x = 1? Justifica la respuesta.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba que la función siquiera está definida en $x=1$. La serie tiene radio de convergencia $1$ y, en el extremo $x=1$, se convierte en la $p$-serie convergente con $p=2$:

   $\operatorname{Li}_{2}(1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}\approx1.644934.$

   Así que la función está definida ahí y, por el teorema de Abel, además es continua por la izquierda. La derivabilidad es un requisito estrictamente más fuerte.

2. 2

   Deriva la serie dentro del disco. Para $|x|<1$ la derivación término a término es válida:

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n^{2}}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n}.$

   La suma interior es la serie de Mercator $-\ln(1-x)$, de modo que

   $\operatorname{Li}_{2}'(x)=-\frac{\ln(1-x)}{x},\qquad |x|<1.$

   Comprobación numérica en $x=0.99$: una diferencia central de la serie da $4.651687$ y $-\frac{\ln(0.01)}{0.99}=4.651687$ ✓.

3. 3

   Examina la derivada cuando $x\to1^{-}$. Cuando $x$ se acerca a $1$ por debajo, $1-x\to0^{+}$ y por tanto $\ln(1-x)\to-\infty$, de donde

   $-\frac{\ln(1-x)}{x}\longrightarrow+\infty.$

   La pendiente crece sin cota: en $x=0.9$ vale $2.56$, en $x=0.99$ vale $4.65$, en $x=0.999$ vale $6.91$ — creciendo como $\ln\frac{1}{1-x}$, despacio pero sin límite.

4. 4

   Concluye con la definición de derivada. Como $\operatorname{Li}_{2}$ es derivable en $(0,1)$ con derivada tendiendo a $+\infty$, el teorema del valor medio obliga a que el cociente incremental $\frac{\operatorname{Li}_{2}(1)-\operatorname{Li}_{2}(x)}{1-x}$ también diverja. Así que la derivada por la izquierda es $+\infty$ y no existe ninguna derivada finita:

   $\operatorname{Li}_{2}\text{ es continua pero no derivable en }x=1.$

   Geométricamente, la gráfica tiene ahí una tangente vertical.

5. 5

   Míralo en el desarrollo local. La identidad de Landen $\operatorname{Li}_{2}(x)+\operatorname{Li}_{2}(1-x)=\frac{\pi^{2}}{6}-\ln x\ln(1-x)$ da, con $y=1-x\to0^{+}$,

   $\operatorname{Li}_{2}(x)=\frac{\pi^{2}}{6}+(1-x)\ln(1-x)-(1-x)+O\!\left((1-x)^{2}\right).$

   Numéricamente en $y=0.001$: el desarrollo da $1.63702631$ frente al valor verdadero $1.63702261$ ✓. El término $y\ln y$ es el que hace el daño — su derivada $\ln y+1$ se dispara, lo que confirma el fallo de la derivabilidad por una segunda vía.