Halla el límite de x^(x+1)/(1+x)^x − 1/e cuando x tiende a más infinito.

Step-by-step solution

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   Reescribe el cociente para que aparezca el límite clásico de $e$. Separa un factor $x$ del numerador: $\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\cdot\frac{x^{x}}{(1+x)^{x}}=x\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}=x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}.$ Este es el movimiento que convierte una torre de exponentes intimidante en algo que lleva dentro un límite conocido.

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   Evalúa el factor entre paréntesis. El límite estándar $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1+\tfrac1x\right)^{x}=e$ da $\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}\longrightarrow\frac{1}{e},$ de modo que ese factor se estabiliza en la constante $e^{-1}\approx 0.3678794$ - ni se anula ni se dispara.

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   Vuelve a multiplicar las piezas. Un factor que tiende a la constante positiva $1/e$ multiplicado por un factor $x\to+\infty$ diverge: $\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}=x\left(1+\frac1x\right)^{-x}\sim\frac{x}{e}\longrightarrow +\infty.$ Así que el primer término de la expresión crece sin cota, a la velocidad lineal $x/e$.

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   Resta la constante. Como $\dfrac1e$ es un número fijo y finito, quitarlo no cambia nada respecto de la divergencia: $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{1}{e}\right)=+\infty.$ Una constante nunca puede cancelar un término divergente - solo podría hacerlo algo que a su vez creciera como $x/e$.

5. 5

   Observa qué daría una resta más fina. Desarrollando $x\ln\!\left(1+\tfrac1x\right)=1-\tfrac{1}{2x}+\tfrac{1}{3x^{2}}-\cdots$ y exponenciando, $x\left(1+\frac1x\right)^{-x}=\frac{x}{e}+\frac{1}{2e}-\frac{5}{24e\,x}+O\!\left(x^{-2}\right).$ Por lo tanto, restar $\dfrac{x}{e}$ en lugar de $\dfrac{1}{e}$ da un límite finito, $\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right)=\frac{1}{2e}=0.1839397206,$ que es la versión de este problema que los libros de texto suelen tener en mente.

6. 6

   Confirma numéricamente las dos afirmaciones. En $x=10^{5}$ la expresión vale $36788.1280560984$, mientras que $x/e=36787.9441171442$ y $1/e=0.3678794412$. Así que la diferencia quitando la constante es $36787.7601766572$ - ya enorme y todavía en aumento -, mientras que la diferencia quitando $x/e$ es $0.1839389542$, a menos de $7.7\times 10^{-7}$ de $\tfrac{1}{2e}$, lo que concuerda con el término de error previsto $\tfrac{5}{24e\,x}=7.66\times 10^{-7}$.