Halla el límite, cuando x tiende a menos infinito, de la suma de xⁿ/(n · n!) para n desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Nombra la suma y observa que converge en todas partes. Pon

   $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n\,n!}$

   El $n!$ del denominador hace que el radio de convergencia sea infinito, así que $S$ está definida para todo $x$ real y se puede derivar término a término.

2. 2

   Deriva para eliminar el incómodo factor $n$.

   $S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n\,n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n!}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=\frac{e^{x}-1}{x}$

   El $n$ se cancela, y la serie restante es la exponencial menos su término $n=0$. Este es el movimiento que vuelve tratable el problema.

3. 3

   Integra de vuelta, usando $S(0)=0$. Todos los términos de $S$ se anulan en $x=0$, así que

   $S(x)=\int_{0}^{x}\frac{e^{t}-1}{t}\,dt$

   El integrando se comporta bien en $t=0$, donde tiende a $1$, así que no hay ninguna singularidad de la que preocuparse.

4. 4

   Examina el integrando muy a la izquierda. Para $t\to-\infty$ se tiene $e^{t}\to 0$, así que

   $\frac{e^{t}-1}{t}\approx\frac{-1}{t}$

   que es positivo para $t<0$ y decae solo como $1/|t|$: demasiado despacio para que la integral se asiente.

5. 5

   Concluye que la integral diverge. Escribiendo $S(x)=-\int_{x}^{0}\frac{e^{t}-1}{t}dt$ y comparando con $\int_{x}^{0}\frac{-1}{t}dt=\ln|x|\to+\infty$, la integral crece sin cota, de modo que

   $\lim_{x\to-\infty}S(x)=-\infty$

6. 6

   Confirma numéricamente el ritmo logarítmico. Sumando la serie directamente: $S(-10)=-2.8798$, $S(-20)=-3.5729$, $S(-30)=-3.9784$. La predicción asintótica $-\left(\ln|x|+\gamma\right)$ con $\gamma=0.5772$ da $-3.9784$ en $x=-30$ ✓: hay divergencia, pero solo a velocidad logarítmica.