Resolver la ecuación diferencial X'' = -0.1X.

Step-by-step solution

1. 1

   Pasar todos los términos a un lado para dejar la forma estándar. La teoría lineal de segundo orden solo se aplica a una ecuación escrita como $aX''+bX'+cX=0$, así que se suma $0.1X$ a ambos lados:

   $X''+0.1X=0$

   No hay término en $X'$ ni término forzante a la derecha, así que es homogénea con coeficientes constantes — justamente el caso que el ansatz exponencial resuelve de forma exacta.

2. 2

   Sustituir $X=e^{rt}$ para convertir el cálculo en álgebra. Derivando dos veces se obtiene $X'=re^{rt}$ y $X''=r^{2}e^{rt}$, así que la ecuación queda

   $r^{2}e^{rt}+0.1e^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+0.1\right)=0$

   Como $e^{rt}$ nunca vale cero para ningún $t$ real, el paréntesis debe anularse. Eso deja la ecuación característica $r^{2}+0.1=0$.

3. 3

   Despejar $r$ y leer el signo de $r^{2}$.

   $r^{2}=-0.1\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i\sqrt{0.1}=\pm\frac{i}{\sqrt{10}}$

   Las raíces son imaginarias puras: no tienen parte real en absoluto. Esa es la firma algebraica de una oscilación sin amortiguamiento — nada en la ecuación crece ni decae.

4. 4

   Convertir las raíces complejas en seno y coseno reales. Para un par conjugado $r=\pm i\omega$ las dos soluciones reales independientes son $\cos(\omega t)$ y $\sin(\omega t)$, así que con $\omega=\sqrt{0.1}$:

   $X(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)$

   Escribiendo $\sqrt{0.1}=1/\sqrt{10}$ se obtiene la forma equivalente $X(t)=C_{1}\cos(t/\sqrt{10})+C_{2}\sin(t/\sqrt{10})$.

5. 5

   Comprobar sustituyendo de vuelta. Derivar dos veces multiplica cada término por $-\omega^{2}=-0.1$, así que $X''=-0.1X$ de manera idéntica. Una segunda diferencia numérica de $X$ con $C_{1}=1.3$, $C_{2}=-0.7$ en $t=0.5$, $1.7$ y $3.3$ reproduce $-0.1X(t)$ con un error menor que $10^{-6}$ ✓.

6. 6

   Interpretar las constantes. La frecuencia angular es $\omega=\sqrt{0.1}\approx0.3162$ rad por unidad de tiempo, así que el periodo es $T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{10}\approx19.87$. Las dos constantes $C_{1}$ y $C_{2}$ quedan fijadas por los datos iniciales: $C_{1}=X(0)$ y $C_{2}=X'(0)/\omega$.