Sean f y g funciones con derivadas de todos los órdenes. Demuestra que la derivada n-ésima de F = fg cumple F⁽ⁿ⁾ = suma para j de 0 a n de C(n,j) f⁽ⁿ⁻ʲ⁾ g⁽ʲ⁾.

Step-by-step solution

1. 1

   Montar la inducción. La afirmación se refiere a todo número natural $n$, así que se demuestra para $n=1$ y luego se ve que su verdad en $n$ obliga a su verdad en $n+1$. El parecido estructural con el teorema del binomio es la pista de que la regla de Pascal hará el trabajo.

2. 2

   Caso base n = 1. El miembro derecho queda

   $\binom10 f'g+\binom11 fg'=f'g+fg'$

   que es exactamente la regla del producto habitual, así que la fórmula se cumple para $n=1$.

3. 3

   Suponer la fórmula en n y derivar una vez más. Aplicando la regla del producto a cada término de la hipótesis de inducción:

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\left[f^{(n-j+1)}g^{(j)}+f^{(n-j)}g^{(j+1)}\right]$

   Esto se parte en dos sumas: una en la que $f$ recibió la derivada adicional y otra en la que la recibió $g$.

4. 4

   Reindexar la segunda suma para que las dos encajen. Sustituyendo $k=j+1$ en la segunda suma, esta se convierte en $\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}f^{(n+1-k)}g^{(k)}$. Renombrando $k$ de nuevo como $j$, las dos sumas llevan ya el mismo factor $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$:

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}+\sum_{j=1}^{n+1}\binom{n}{j-1}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

5. 5

   Combinar con la regla de Pascal. Para $1\le j\le n$ el coeficiente de $f^{(n+1-j)}g^{(j)}$ es

   $\binom{n}{j}+\binom{n}{j-1}=\binom{n+1}{j}$

   Los términos de los extremos también encajan: en $j=0$ el coeficiente es $\binom{n}{0}=1=\binom{n+1}{0}$, y en $j=n+1$ es $\binom{n}{n}=1=\binom{n+1}{n+1}$.

6. 6

   Cerrar la inducción.

   $F^{(n+1)}=\sum_{j=0}^{n+1}\binom{n+1}{j}f^{(n+1-j)}g^{(j)}$

   que es la fórmula con $n$ sustituido por $n+1$. Por inducción, se cumple para todo número natural $n$.

   $\boxed{F^{(n)}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}f^{(n-j)}g^{(j)}}$

7. 7

   Comprobar explícitamente el caso n = 2. La fórmula predice $F''=f''g+2f'g'+fg''$. Derivando $F'=f'g+fg'$ a mano se obtiene $f''g+f'g'+f'g'+fg''=f''g+2f'g'+fg''$ ✓: los coeficientes $1,2,1$ son la segunda fila del triángulo de Pascal, exactamente como sugiere la analogía binomial.