Hallar la derivada de f(x) = x^3 − 3x^2 + 2x y calcular su integral definida en el intervalo [0, 3].

Step-by-step solution

1. 1

   Derivar término a término con la regla de la potencia. Como $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ y la derivación es lineal, cada término se trata por separado:

   $\frac{d}{dx}\left(x^3\right)=3x^2,\qquad \frac{d}{dx}\left(-3x^2\right)=-6x,\qquad \frac{d}{dx}(2x)=2$

   de modo que

   $f'(x)=3x^2-6x+2$

2. 2

   Buscar una antiderivada para la integral. Se invierte la regla de la potencia: se sube cada exponente en uno y se divide entre él:

   $F(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+x^2$

   La constante de integración se omite a propósito: en una integral definida se cancela al restar, así que sirve cualquier antiderivada. Comprobación rápida: $F'(x)=x^3-3x^2+2x=f(x)$.

3. 3

   Aplicar el teorema fundamental del cálculo.

   $\int_0^3 f(x)\,dx=F(3)-F(0)$

   $F(3)=\frac{81}{4}-27+9=\frac{81}{4}-18=\frac{81-72}{4}=\frac{9}{4}$

   $F(0)=0$

   así que la integral vale $\dfrac{9}{4}=2.25$.

4. 4

   Observar que se trata de un área con signo, no del área total. Al factorizar, $f(x)=x(x-1)(x-2)$, así que la curva corta el eje en $x=0,1,2$: es positiva en $(0,1)$, negativa en $(1,2)$ y otra vez positiva en $(2,3)$. La integral suma esos trozos con su signo, de modo que resulta menor que el área geométrica entre la curva y el eje.

5. 5

   Verificar separando en las raíces. Con la misma $F$:

   $\int_0^1 f=F(1)-F(0)=\frac14,\qquad \int_1^2 f=F(2)-F(1)=0-\frac14=-\frac14,\qquad \int_2^3 f=F(3)-F(2)=\frac94-0=\frac94$

   Al sumar: $\tfrac14-\tfrac14+\tfrac94=\tfrac94$, que coincide con el paso 3. (El área sin signo, si se pidiera, sería $\tfrac14+\tfrac14+\tfrac94=\tfrac{11}{4}$.)