Halla la suma desde n = 1 hasta infinito de 1 dividido entre [√(n+1)(n+2) + (n+1)√(n+2)].

Step-by-step solution

1. 1

   Factoriza el denominador. Escribe $n+2=\sqrt{n+2}\cdot\sqrt{n+2}$ y $n+1=\sqrt{n+1}\cdot\sqrt{n+1}$. El denominador queda $\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)$: una forma que ningún desarrollo por fuerza bruta habría revelado.

2. 2

   Racionaliza la suma de raíces que queda. Multiplica numerador y denominador por $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$; como $\left(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=1$, el término se convierte en $\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}}$.

3. 3

   Separa la fracción. Al dividir cada parte del numerador entre el denominador queda $\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{1}{\sqrt{n+2}}$: una diferencia telescópica limpia.

4. 4

   Escribe la suma parcial. $S_N=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{N+2}}$, porque cada término interior se cancela con su vecino.

5. 5

   Toma el límite. Cuando $N\to\infty$ el término $\frac{1}{\sqrt{N+2}}\to 0$, así que la suma vale $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.7071$.

6. 6

   Comprobación numérica. Sumar $2\times10^{6}$ términos da $0.7063997$, y la forma cerrada predice $\frac{1}{\sqrt2}-\frac{1}{\sqrt{2000002}}=0.7063997$: coincidencia exacta, cola lenta incluida.