Halla el límite de 1 entre x al cuadrado cuando x tiende a menos infinito.

Step-by-step solution

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   Fíjate en que la potencia par borra el signo. Para todo $x\neq 0$ se cumple $x^2>0$, así que da igual si $x$ se va hacia $+\infty$ o hacia $-\infty$: el denominador es positivo en cualquier caso. Por eso este límite y el de $+\infty$ tienen que salir iguales.

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   Comprueba que el denominador crece sin cota. Como $x^2=|x|^2$ y $|x|\to\infty$ cuando $x\to-\infty$,

   $x^2\to+\infty$

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   Aplica la regla de «fijo entre no acotado». El numerador se queda en $1$ mientras que el denominador supera cualquier cota, así que el cociente queda comprimido hacia cero:

   $\frac{1}{x^2}\to 0$

   Más precisamente, para cualquier $\varepsilon>0$ se tiene $1/x^2<\varepsilon$ en cuanto $|x|>1/\sqrt{\varepsilon}$, que es el enunciado formal del límite.

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   Comprueba con números. En $x=-10$: $1/100=0.01$. En $x=-100$: $1/10000=0.0001$. En $x=-1000$: $10^{-6}$. Los valores se encogen hacia $0$ y se mantienen positivos en todo momento.

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   Anota la respuesta y el sentido de la aproximación. El límite es $0$, alcanzado por arriba: la función nunca es negativa, así que la gráfica se aplana sobre el eje $x$ desde arriba. El mismo argumento da $\lim_{x\to\pm\infty}x^{-n}=0$ para todo $n>0$.