Para la integral de (x − 4y) sobre el rectángulo −1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1: describe la región, evalúa la integral doble y después invierte el orden de integración y vuelve a evaluar.

Step-by-step solution

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   (a) Lee los límites. La variable interior es $x$ con límites constantes $-1$ y $2$; la exterior es $y$ desde $0$ hasta $1$. Como los cuatro límites son constantes, la región es un rectángulo:

   $D=\{(x,y):-1\le x\le 2,\ 0\le y\le 1\}$

   con vértices $(-1,0)$, $(2,0)$, $(2,1)$ y $(-1,1)$.

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   (b) Integra respecto de x, tratando y como constante.

   $\int_{-1}^{2}(x-4y)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-4yx\right]_{-1}^{2}=(2-8y)-\left(\tfrac12+4y\right)=\frac{3}{2}-12y$

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   Integra el resultado respecto de y.

   $\int_{0}^{1}\left(\frac32-12y\right)dy=\left[\frac{3y}{2}-6y^{2}\right]_{0}^{1}=\frac32-6=-\frac92$

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   (c) Invierte el orden. Sobre un rectángulo los límites simplemente intercambian su lugar: no hace falta dividir en casos, porque el rango de ninguna variable depende de la otra:

   $\int_{-1}^{2}\!\!\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy\,dx$

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   Evalúa en el nuevo orden. Integral interior respecto de $y$:

   $\int_{0}^{1}(x-4y)\,dy=\left[xy-2y^{2}\right]_{0}^{1}=x-2$

   y después respecto de $x$:

   $\int_{-1}^{2}(x-2)\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}-2x\right]_{-1}^{2}=(2-4)-\left(\tfrac12+2\right)=-2-\tfrac52=-\frac92$

   $\boxed{-\dfrac92}$

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   Confirma con un atajo. Como el integrando se separa y la región es un rectángulo, $\iint_D(x-4y)\,dA=\left(\int_{-1}^{2}x\,dx\right)(1)-4\left(\int_{0}^{1}y\,dy\right)(3)=\tfrac32-4\left(\tfrac12\right)(3)=\tfrac32-6=-\tfrac92$, lo que coincide con ambos órdenes: es un caso del teorema de Fubini, que garantiza que los dos órdenes concuerdan para un integrando continuo sobre un rectángulo.