Calcula la integral doble de 1/(x + y + 2) sobre el cuadrado [0,1] x [0,1].

Step-by-step solution

1. 1

   Integra primero en $x$, tratando $y$ como constante. El integrando es el recíproco de una función lineal de $x$, de modo que $\int_{0}^{1}\frac{dx}{x+y+2}=\Big[\ln(x+y+2)\Big]_{0}^{1}=\ln(y+3)-\ln(y+2).$ Los dos argumentos se mantienen positivos en el cuadrado, así que no hacen falta valores absolutos. Aquí el orden no importa: el integrando es simétrico en $x$ y $y$.

2. 2

   Plantea la integral simple que queda. $\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{1}\frac{dx\,dy}{x+y+2}=\int_{0}^{1}\Big[\ln(y+3)-\ln(y+2)\Big]dy$ Cada pieza es el logaritmo de una variable desplazada, que se integra por partes (o con la fórmula estándar) dando $\int\ln(y+a)\,dy=(y+a)\ln(y+a)-(y+a)+C.$

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   Evalúa las dos integrales logarítmicas. $\int_{0}^{1}\ln(y+3)\,dy=\Big[(y+3)\ln(y+3)-(y+3)\Big]_{0}^{1}=\left(4\ln 4-4\right)-\left(3\ln 3-3\right)=4\ln 4-3\ln 3-1,$ $\int_{0}^{1}\ln(y+2)\,dy=\Big[(y+2)\ln(y+2)-(y+2)\Big]_{0}^{1}=\left(3\ln 3-3\right)-\left(2\ln 2-2\right)=3\ln 3-2\ln 2-1.$ Numéricamente valen $1.2493405785$ y $0.9095425049$.

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   Resta y agrupa los logaritmos. $\left(4\ln 4-3\ln 3-1\right)-\left(3\ln 3-2\ln 2-1\right)=4\ln 4+2\ln 2-6\ln 3.$ Como $4\ln 4=4(2\ln 2)=8\ln 2$, esto se convierte en $8\ln 2+2\ln 2-6\ln 3=10\ln 2-6\ln 3.$

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   Escríbelo como un solo logaritmo y cuida el álgebra. Combinando, $10\ln 2-6\ln 3=\ln\frac{2^{10}}{3^{6}}=\ln\frac{1024}{729}=0.3397980736.$ Una reescritura tentadora pero incorrecta es $2\ln 2+4\ln\tfrac43$, que se desarrolla como $10\ln 2-4\ln 3=2.5370$: unas siete veces demasiado grande, porque pierde dos factores $3$ en el denominador.

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   Comprueba el tamaño con una estimación burda. En el cuadrado unitario $x+y+2$ va de $2$ a $4$, así que el integrando queda entre $\tfrac14$ y $\tfrac12$, y su promedio también. El valor $0.3398$ cae cómodamente en esa banda, y una malla de puntos medios de $4000\times 4000$ da $0.3397980732$, lo que confirma la forma cerrada.