Resuelve la ecuación diferencial dy/dx − y² = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Reordena hasta la forma separable estándar. Pasando el $y^2$ al otro miembro queda

   $\frac{dy}{dx}=y^2$

   El miembro derecho depende solo de $y$, así que la ecuación se separa. Fíjate también en la solución constante $y=0$, que satisface la ecuación de forma trivial y habrá que tratar aparte.

2. 2

   Separa las variables. Suponiendo $y\neq0$, divide entre $y^2$:

   $\frac{dy}{y^2}=dx,\qquad\text{es decir}\qquad y^{-2}\,dy=dx$

3. 3

   Integra ambos miembros con la regla de la potencia. Para $n=-2$, $\int y^{n}dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}$ da $\frac{y^{-1}}{-1}=-y^{-1}$; el caso del $\ln$ no se aplica aquí porque el exponente no es $-1$:

   $-\frac{1}{y}=x+C$

4. 4

   Despeja y. Multiplica por $-1$ y renombra la constante ($-C$ es tan arbitraria como $C$):

   $\frac{1}{y}=-x-C=C'-x$

   Tomando recíprocos,

   $y=\frac{1}{C-x}$

   escribiendo $C$ en lugar de $C'$. A diferencia del caso lineal $y'=y$, aquí $C=0$ no recupera $y=0$; la solución nula es una solución singular genuinamente aparte, perdida en el paso 2.

5. 5

   Observa la explosión en tiempo finito. La solución tiene una asíntota vertical en $x=C$: cuando $x\to C^-$, el valor $|y|\to\infty$. Así que ninguna solución no nula existe en toda la recta real, un rasgo distintivo del crecimiento cuadrático que las ecuaciones lineales nunca presentan.

6. 6

   Verifica derivando. Para $y=\frac{1}{C-x}=(C-x)^{-1}$, la regla de la cadena da $y'=(C-x)^{-2}=y^2$ ✓. Numéricamente con $C=2$ en $x=0,\,0.5,\,-1.3$, el cociente de diferencias simétrico coincide con $y^2$ en cinco dígitos ✓.