Calcular la integral doble de y sobre la región −1 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Identificar la región. Para cada $x$ en $[-1,1]$ la franja va desde la parábola $y=x^2$ hasta la recta $y=1$. Las dos curvas se cortan donde $x^2=1$, es decir en $x=\pm 1$, así que la región es exactamente el área encerrada entre la parábola y la recta horizontal: cerrada, acotada y simétrica respecto al eje $y$.

2. 2

   Integrar primero en $y$, porque los límites dependen de $x$.

   $\int_{x^2}^{1} y\,dy=\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^{y=1}=\frac{1}{2}-\frac{\left(x^2\right)^2}{2}=\frac{1-x^4}{2}$

   Nótese que $\left(x^2\right)^2=x^4$, no $x^2$: elevar al cuadrado el límite inferior es el paso que genera la cuártica.

3. 3

   Usar la simetría par para reducir el trabajo a la mitad. La función $\tfrac{1-x^4}{2}$ es par, así que

   $\int_{-1}^{1}\frac{1-x^4}{2}\,dx=2\int_0^1\frac{1-x^4}{2}\,dx=\int_0^1\left(1-x^4\right)dx$

4. 4

   Terminar la integral exterior.

   $\int_0^1\left(1-x^4\right)dx=\left[x-\frac{x^5}{5}\right]_0^1=1-\frac15=\frac45$

5. 5

   Contrastar con una interpretación del centroide. El área de la región es $\int_{-1}^1\left(1-x^2\right)dx=2-\tfrac23=\tfrac43$. Como $\iint y\,dA=\bar y\cdot\text{Área}$, el resultado implica una altura del centroide

   $\bar y=\frac{4/5}{4/3}=\frac{3}{5}=0.6$

   Es un valor razonable: la región es más ancha cerca de $y=1$ y se estrecha hasta un punto en $y=0$, así que su centro de masa debe quedar por encima del punto medio $y=0.5$ $\checkmark$.