Deriva y = 10x³ − x² + 4x − 15 y luego resuelve y' = 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Aplica la regla de la potencia término a término. En un polinomio cada término se trata por separado usando $\left(x^{n}\right)^{\prime}=nx^{n-1}$ y el hecho de que las constantes tienen derivada nula: $\left(10x^{3}\right)^{\prime}=30x^{2}$, $\left(-x^{2}\right)^{\prime}=-2x$, $(4x)^{\prime}=4$, $(-15)^{\prime}=0$.

2. 2

   Escribe la derivada. Sumando las cuatro partes, $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4 .$

3. 3

   Iguala la derivada a cero y simplifica. Resolver $y^{\prime}=0$ equivale a resolver $30x^{2}-2x+4=0$. Todos los coeficientes son pares, así que divide entre $2$: $15x^{2}-x+2=0 .$

4. 4

   Estudia el discriminante en lugar de forzar una raíz. Con $A=15$, $B=-1$, $C=2$, $D=B^{2}-4AC=(-1)^{2}-4(15)(2)=1-120=-119<0 .$ Un discriminante negativo significa que la cuadrática no tiene raíces reales.

5. 5

   Interpreta el resultado geométricamente. Como $y^{\prime}=30x^{2}-2x+4$ no se anula nunca y su coeficiente principal es positivo, $y^{\prime}>0$ para todo $x$ real. Así que la cúbica es estrictamente creciente y no tiene tangente horizontal ni extremo local en ningún punto.