Halla el límite de (1 − cos x)/(1 − eˣ) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Confirmar que la forma es $\tfrac{0}{0}$. En $x=0$ se anulan las dos partes: $1-\cos 0=0$ y $1-e^{0}=0$. Así que el cociente es indeterminado y hay que trabajarlo — un instinto equivocado bastante común es responder $1$ porque "los dos van a cero al mismo tiempo", pero no es así: se anulan a velocidades distintas.

2. 2

   Comparar las velocidades con series de Maclaurin. Conservando el término dominante de cada una:

   $1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots,\qquad 1-e^{x}=-x-\frac{x^2}{2}-\cdots$

   El numerador es de segundo orden en $x$; el denominador, solo de primer orden. Ese desajuste ya indica que el límite es $0$.

3. 3

   Dividir los comportamientos dominantes.

   $\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=\frac{\frac{x^2}{2}\left(1-\frac{x^2}{12}+\cdots\right)}{-x\left(1+\frac{x}{2}+\cdots\right)}=-\frac{x}{2}\cdot\frac{1+O\!\left(x^2\right)}{1+O(x)}\longrightarrow 0$

   Los factores entre paréntesis tienden ambos a $1$, así que todo el conjunto se comporta como $-\tfrac{x}{2}$ cerca de $0$.

4. 4

   Verificar con la regla de L'Hôpital. Derivando numerador y denominador una vez:

   $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{-e^{x}}=\frac{0}{-1}=0$

   Aquí basta con una aplicación, porque después de derivar la forma es $\tfrac{0}{-1}$, que ya es determinada. Aplicar la regla una segunda vez sería un error: la regla solo vale mientras la forma siga siendo indeterminada.

5. 5

   Comprobar numéricamente el comportamiento por ambos lados. En $x=10^{-3}$ el cociente vale $-0.00049975$; en $x=10^{-5}$ vale $-5.00\times 10^{-6}$; en $x=-10^{-5}$ vale $+5.00\times 10^{-6}$. Los valores se acercan a $0$ desde lados opuestos, en consonancia con la aproximación lineal $-\tfrac{x}{2}$, y el límite por ambos lados es

   $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{1-e^{x}}=0$