Evaluar el límite cuando n tiende a infinito de (2ⁿ + (−7)ⁿ) dividido entre (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹).

Step-by-step solution

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   Encontrar el término dominante comparando valores absolutos. Las bases en competencia tienen tamaños $|2|=2$ y $|-7|=7$. Como $7>2$, los términos $(-7)^n$ desbordan a los términos $2^n$ a medida que $n$ crece; el signo alternado no cambia cuál es mayor.

2. 2

   Separar un factor de las potencias desplazadas. Se reescribe el denominador para que ambos términos igualen el exponente del numerador:

   $2^{n+1}=2\cdot 2^{n},\qquad (-7)^{n+1}=(-7)\cdot(-7)^{n}.$

3. 3

   Dividir numerador y denominador entre el término dominante. Sea $r=\dfrac{2}{-7}$, de modo que $\dfrac{2^{n}}{(-7)^{n}}=r^{n}$:

   $\frac{2^{n}+(-7)^{n}}{2\cdot 2^{n}-7\cdot(-7)^{n}}=\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}.$

4. 4

   Llevar a cero el cociente pequeño. Como $|r|=\tfrac27<1$, se tiene $r^{n}\to 0$ cuando $n\to\infty$: alterna de signo pero decrece geométricamente, así que su límite es $0$ de todas formas.

5. 5

   Leer el límite.

   $\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}=\frac{0+1}{0-7}=-\frac{1}{7}.$

6. 6

   Comprobar con aritmética exacta. Evaluar el cociente original con fracciones exactas da $-0.14285781$ en $n=10$, $-0.14285695$ en $n=11$, y $-0.142857142857$ en $n=50$, $51$, $200$ y $201$: converge a $-\tfrac17=-0.142857\ldots$ por ambos lados, conforme se alterna la paridad de $n$.