Halla la integral de e^(−x²) respecto de x.

Step-by-step solution

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   Prueba la sustitución obvia y observa cómo falla. Tomando $u=-x^{2}$ se obtiene $du=-2x\,dx$, pero en el integrando no hay ningún factor $x$ que absorber, así que la sustitución no se puede completar. La integración por partes también entra en un bucle sin llegar a simplificar nada. No es falta de ingenio: el fracaso es estructural.

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   Conoce el enunciado teórico. Por el teorema de Liouville sobre integración en términos finitos, $e^{-x^{2}}$ no tiene primitiva elemental: ninguna puede escribirse con polinomios, raíces, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas en un número finito de operaciones. Compara con $\int xe^{-x^{2}}dx=-\tfrac12e^{-x^{2}}+C$, que sí es elemental precisamente porque la $x$ adicional hace que la sustitución funcione.

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   Introduce la función error como definición. Los matemáticos le dan nombre a la primitiva que falta:

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

   El factor $\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}$ se elige para que $\operatorname{erf}(\infty)=1$, lo que convierte a erf en una probabilidad dentro de la estadística.

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   Invierte la definición para responder a la pregunta. Derivar la definición da $\operatorname{erf}'(x)=\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}$, así que multiplicar por $\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ deshace la normalización:

   $\int e^{-x^{2}}\,dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C$

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   Contrasta con la integral definida sobre toda la recta. Aunque no exista primitiva elemental, la integral definida es célebre por su valor exacto:

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx=\sqrt{\pi}$

   que se obtiene elevando al cuadrado y pasando a coordenadas polares. Tener una integral definida en forma cerrada es perfectamente compatible con no tener una indefinida en forma cerrada.