Hallar la derivada parcial de x²·y + y·sin(x) respecto de x.

Step-by-step solution

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   Fijar qué significa «parcial respecto de $x$». Cada aparición de $y$ queda congelada como si fuera un número. Así que $y$ se comporta como un coeficiente constante en los dos términos, y la regla del producto no hace falta en ninguna parte — una complicación innecesaria muy común aquí.

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   Derivar el primer término. Con $y$ constante, $x^2y$ es $y$ por $x^2$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y\right)=y\cdot 2x=2xy$

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   Derivar el segundo término. De nuevo $y$ es un multiplicador constante y $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$:

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(y\sin x\right)=y\cos x$

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   Sumar los resultados.

   $\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2y+y\sin x\right)=2xy+y\cos x=y\left(2x+\cos x\right)$

   Sacar $y$ como factor común deja clara la estructura: toda la función es $y$ por una función que depende solo de $x$.

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   Comprobar con un cociente de diferencias. Se toma $x=1$, $y=3$. La fórmula predice $3(2+\cos 1)=3(2+0.540302)=7.620907$. Numéricamente, con $h=10^{-5}$,

   $\frac{f(1.00001,3)-f(0.99999,3)}{2\times 10^{-5}}=7.620907$

   con coincidencia hasta el sexto decimal. En contraste, $\partial/\partial y$ sería $x^2+\sin x$ — una expresión completamente distinta, y por eso hay que indicar respecto de qué variable se deriva.