Calcula la integral triple de −5x + 5yz sobre la región E donde 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 5 − 5x y 0 ≤ z ≤ −x − 2y − 5.

Step-by-step solution

1. 1

   Fíjate en que los límites son degenerados y decide qué significa eso. Para $x$ en $(1,2]$ el límite superior indicado para $y$, que es $5-5x$, resulta negativo, de modo que queda por debajo del límite inferior $0$; lo mismo ocurre con $z$, cuyo límite superior $-x-2y-5$ es negativo. La región tal como está escrita es vacía como sólido, así que el problema debe leerse como la integral iterada con esos límites, donde un rango invertido contribuye con el signo opuesto.

2. 2

   Integra en z. Con $Z=-x-2y-5$, $\int_0^{Z}(-5x+5yz)\,dz=-5xZ+\frac{5y}{2}Z^2$. Al sustituir y desarrollar queda $10y^3+10xy^2+50y^2+\frac52x^2y+35xy+\frac{125}{2}y+5x^2+25x$.

3. 3

   Integra en y desde 0 hasta 5 - 5x. Antiderivando y sustituyendo el límite superior (negativo) se obtiene el integrando exterior $\frac{14125}{12}x^4-\frac{20200}{3}x^3+\frac{28425}{2}x^2-\frac{39250}{3}x+\frac{53125}{12}$.

4. 4

   Antideriva en x. La $\int$ de esa cuártica es $\frac{2825}{12}x^5-\frac{5050}{3}x^4+\frac{9475}{2}x^3-\frac{19625}{3}x^2+\frac{53125}{12}x$.

5. 5

   Evalúa desde x = 1 hasta x = 2. La diferencia de la primitiva entre los extremos vale $\frac{25}{2}=12.5$. El resultado es positivo aunque el integrando $-5x+5yz$ sea negativo en buena parte del rango, porque las dos orientaciones invertidas cambian el signo dos veces.

6. 6

   Comprobación numérica. Evaluar numéricamente la misma integral iterada (conservando tal cual los rangos interiores invertidos) devuelve $12.500000$, que coincide con $\frac{25}{2}$.

7. 7

   Contrasta con un valor erróneo habitual. Una solución muy vista reporta $-\frac{40625}{72}\approx -564.2$; ese valor no supera la comprobación numérica, así que el tratamiento del signo de los límites invertidos hay que hacerlo con cuidado.