Deriva y = coseno de la raíz cuadrada de (2x + 1).

Step-by-step solution

1. 1

   Identifica las capas y el dominio. La función es una composición triple: $y=\cos u$ con $u=\sqrt{v}$ y $v=2x+1$. Para que $y$ esté definida hace falta $2x+1\ge 0$, es decir, $x\ge-\frac12$; la derivada exigirá la desigualdad estricta $x>-\frac12$, porque $\sqrt{v}$ tiene pendiente infinita en $v=0$.

2. 2

   Deriva la capa exterior.

   $\frac{dy}{du}=-\sin u=-\sin\sqrt{2x+1}$

   El signo menos pertenece a la derivada del coseno y no se debe perder.

3. 3

   Deriva la raíz cuadrada interior, usando otra vez la regla de la cadena. Escribiendo $\sqrt{2x+1}=(2x+1)^{1/2}$,

   $\frac{du}{dx}=\frac12(2x+1)^{-1/2}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$

   El factor $2$ que viene de $\frac{d}{dx}(2x+1)$ cancela el $\frac12$ de la regla de la potencia: una coincidencia limpia y específica del coeficiente $2$.

4. 4

   Multiplica las dos razones de cambio.

   $y'=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=-\sin\sqrt{2x+1}\cdot\frac{1}{\sqrt{2x+1}}=-\frac{\sin\sqrt{2x+1}}{\sqrt{2x+1}}$

5. 5

   Comprueba numéricamente e inspecciona el extremo. En $x=4$: $\sqrt{9}=3$, así que $y'=-\frac{\sin 3}{3}=-\frac{0.1411200}{3}=-0.0470400$, y una diferencia central de $\cos\sqrt{2x+1}$ en $x=4$ da $-0.0470400$ ✓. En $x=-\frac12$ la función está definida ($y=\cos 0=1$) pero el denominador se anula, así que la gráfica tiene tangente vertical y ahí $y'$ no existe.