Resolver la ecuación diferencial lineal de primer orden dy/dx + 2y = e^(-x).

Step-by-step solution

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   Comprobar que la ecuación ya está en la forma lineal estándar. Una ecuación lineal de primer orden tiene el aspecto $\dfrac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$. Aquí $P(x)=2$ y $Q(x)=e^{-x}$, con coeficiente $1$ en la derivada — no hace falta dividir nada antes de empezar.

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   Construir el factor integrante. Todo el método existe para forzar que el miembro izquierdo se convierta en una sola derivada. El factor que lo consigue es

   $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$

   (la constante de integración se descarta porque cualquier múltiplo no nulo de $\mu$ sirve igual).

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   Multiplicar todo y compactar el miembro izquierdo. Al multiplicar cada término por $e^{2x}$:

   $e^{2x}\frac{dy}{dx} + 2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x} = e^{x}$

   El miembro izquierdo es exactamente la regla del producto leída al revés:

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right) = e^{x}$

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   Integrar una vez ambos miembros. Integrar la derivada del miembro izquierdo simplemente la elimina, y el miembro derecho es inmediato:

   $e^{2x}y = e^{x} + C$

   Aquí aparece la constante arbitraria $C$, y es el único sitio donde puede aparecer: una ecuación de primer orden lleva exactamente una.

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   Despejar $y$. Se divide entre $e^{2x}$ o, equivalentemente, se multiplica por $e^{-2x}$:

   $y = e^{-2x}\left(e^{x} + C\right) = e^{-x} + Ce^{-2x}$

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   Verificar por sustitución. Con $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$, la derivada es $y' = -e^{-x} - 2Ce^{-2x}$, de modo que

   $y' + 2y = \left(-e^{-x} - 2Ce^{-2x}\right) + \left(2e^{-x} + 2Ce^{-2x}\right) = e^{-x}$

   Los términos con $C$ se cancelan para todo $C$, lo que confirma la solución general. La parte $e^{-x}$ es la solución particular y $Ce^{-2x}$ es la parte homogénea que decae.