Calcula la integral de 0 a 1 de (ln x)⁴ · ln(1 - x) / (x(1 - x)) dx.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa el núcleo en dos piezas estándar. Las fracciones parciales dan $\frac{1}{x(1-x)}=\frac1x+\frac1{1-x}$, así que $I=I_1+I_2$ con $I_1=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{x}\,dx,\qquad I_2=\int_0^1\frac{\ln^{4}x\,\ln(1-x)}{1-x}\,dx .$ Las dos mitades necesitan series distintas, y esa es exactamente la razón por la que aquí falla el argumento ingenuo de simetría que manda $x\mapsto 1-x$.

2. 2

   Evalúa la primera mitad con la serie del logaritmo. Usando $\ln(1-x)=-\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n}$ y el momento estándar $\int_0^1 x^{n-1}\ln^{4}x\,dx=\frac{4!}{n^{5}}=\frac{24}{n^{5}}$, $I_1=-\sum_{n\ge1}\frac{1}{n}\cdot\frac{24}{n^{5}}=-24\zeta(6).$

3. 3

   Evalúa la segunda mitad con la función generatriz de los armónicos. Aquí $\frac{\ln(1-x)}{1-x}=-\sum_{n\ge1}H_n x^{n}$ y $\int_0^1 x^{n}\ln^{4}x\,dx=\frac{24}{(n+1)^{5}}$, así que $I_2=-24\sum_{n\ge1}\frac{H_n}{(n+1)^{5}} .$ Desplazar el índice con $m=n+1$ y $H_{m-1}=H_m-\frac1m$ convierte esto en $I_2=-24\left(\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}-\zeta(6)\right).$

4. 4

   Suma las dos mitades. Los términos en $\zeta(6)$ se cancelan: $I=I_1+I_2=-24\zeta(6)-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}+24\zeta(6)=-24\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}} .$ Todo depende ahora de una única suma de Euler lineal.

5. 5

   Aplica la fórmula de Euler para la suma lineal. Con $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{s}}=\left(1+\frac{s}{2}\right)\zeta(s+1)-\frac12\sum_{k=1}^{s-2}\zeta(k+1)\zeta(s-k)$ en $s=5$, $\sum_{m\ge1}\frac{H_m}{m^{5}}=\frac72\zeta(6)-\zeta(2)\zeta(4)-\frac12\zeta(3)^{2}.$ De ahí $I=-84\zeta(6)+24\zeta(2)\zeta(4)+12\zeta(3)^{2}$.

6. 6

   Reduce a una forma cerrada y comprueba numéricamente. Usando $\zeta(6)=\frac{\pi^{6}}{945}$ y $\zeta(2)\zeta(4)=\frac{\pi^{2}}{6}\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{6}}{540}$, los términos en $\pi^{6}$ se combinan como $-\frac{4}{45}\pi^{6}+\frac{2}{45}\pi^{6}=-\frac{2}{45}\pi^{6}$, lo que da $I=12\zeta(3)^{2}-\frac{2\pi^{6}}{45}$. Numéricamente esto es $-25.389119\ldots$, y la cuadratura doblemente exponencial de la integral original devuelve también $-25.389119\ldots$.