Demuestra que si f(x) es integrable Riemann en [a, b], entonces la integral de a a b de f(x)cos(px) dx tiende a 0 cuando p tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Elige la clase aproximante adecuada. Una $f$ integrable Riemann es acotada y se puede encajar entre funciones escalonadas, de modo que para todo $\varepsilon>0$ existe una función escalonada $\varphi$ con $\int_a^b\left|f(x)-\varphi(x)\right|dx<\varepsilon .$ Aquí $\varphi(x)=c_k$ en cada $(x_{k-1},x_k)$ para una partición $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$. Las funciones escalonadas son la clase correcta porque $\int\cos(px)$ sobre un intervalo se puede escribir de forma exacta.

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   Resuelve el caso escalonado de forma exacta. En cada trozo, $\int_{x_{k-1}}^{x_k}\cos(px)\,dx=\frac{\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})}{p},$ de modo que $\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx=\frac1p\sum_{k=1}^{n}c_k\left[\sin(px_k)-\sin(px_{k-1})\right].$

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   Acota el caso escalonado por 1/p. Cada corchete tiene módulo a lo sumo $2$, así que $\left|\int_a^b\varphi(x)\cos(px)\,dx\right|\le\frac{2}{p}\sum_{k=1}^{n}|c_k| .$ La partición queda fija una vez elegido $\varepsilon$, de modo que la suma es una constante y toda la cota tiende a $0$ cuando $p\to\infty$. Aquí es donde la oscilación hace el trabajo: la cancelación entre valores vecinos dentro de cada subintervalo cuesta un factor $1/p$.

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   Divide la integral general en término principal y error. Escribe $\int_a^b f\cos(px)\,dx=\int_a^b \varphi\cos(px)\,dx+\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx .$ Como $|\cos(px)|\le 1$, el segundo trozo cumple $\left|\int_a^b (f-\varphi)\cos(px)\,dx\right|\le\int_a^b|f-\varphi|\,dx<\varepsilon$ de manera uniforme en $p$.

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   Combina las dos estimaciones. Por el paso anterior existe $P$ tal que $\left|\int_a^b\varphi\cos(px)\,dx\right|<\varepsilon$ para todo $p>P$. Entonces $\left|\int_a^b f\cos(px)\,dx\right|<2\varepsilon$ para todo $p>P$. Como $\varepsilon>0$ era arbitrario, el límite es $0$. El mismo argumento con $\sin(px)$ da la versión del seno, y juntas constituyen el lema de Riemann-Lebesgue.