Calcula la suma infinita de 1/(n · 2ⁿ) para n desde 1 hasta infinito.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba la convergencia antes de calcular. Los términos son positivos y $\frac{1}{n2^{n}} \le \frac{1}{2^{n}}$, cuya suma es la serie geométrica convergente $\sum 2^{-n} = 1$. Así que la serie converge y su valor es a lo sumo $1$: una cota útil con la que contrastar la respuesta final.

2. 2

   Recuerda la serie logarítmica (de Mercator). Para $|x| < 1$,

   $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$

   Es la primitiva de la serie geométrica $\frac{1}{1-x} = \sum_{n \ge 0} x^{n}$, integrada término a término desde $0$ hasta $x$.

3. 3

   Reescribe el término dado para que encaje con el patrón. Reparte el $2^{n}$ como potencia de un único número:

   $\frac{1}{n\,2^{n}} = \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n}$

   de modo que la serie es exactamente $\sum_{n\ge1} \frac{x^{n}}{n}$ con $x = \tfrac12$, holgadamente dentro del radio de convergencia.

4. 4

   Sustituye x = 1/2.

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left(\tfrac12\right)^{n}}{n} = -\ln\left(1-\frac12\right) = -\ln\frac12$

5. 5

   Simplifica el logaritmo. Como $\ln\tfrac12 = -\ln 2$,

   $-\ln\frac12 = \ln 2$

   $\Longrightarrow \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\,2^{n}} = \ln 2$

6. 6

   Confirma numéricamente. Sumar los primeros doscientos términos da $0.6931471805599453$, y $\ln 2 = 0.6931471805599453$: coinciden en toda la doble precisión y quedan holgadamente por debajo de la cota $1$ del primer paso.