Halla la transformada inversa de Laplace de 0.4 por e elevado a menos s, más 0.2 por e elevado a menos 2s, más 0.4 por e elevado a menos 3s.

Step-by-step solution

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   Revisa primero el signo del exponente. Las funciones en el dominio de Laplace llevan $e^{-as}$ con $a > 0$; un factor $e^{+as}$ describiría un desplazamiento hacia atrás en el tiempo y no es la transformada de ninguna función causal. Por eso una expresión escrita con $e^{s}$, $e^{2s}$, $e^{3s}$ debe leerse como $e^{-s}$, $e^{-2s}$, $e^{-3s}$ antes de poder invertirla.

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   Observa que no hay ninguna F(s) acompañando a las exponenciales. El segundo teorema de traslación dice

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)\,f(t-a)$

   Aquí cada exponencial está sola, es decir, $F(s) = 1$. La transformada inversa de $1$ no es una función ordinaria: es la delta de Dirac $\delta(t)$, ya que $\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$.

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   Aplica la regla de desplazamiento de la delta a cada término. Combinando los dos hechos:

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\right\} = \delta(t - a)$

   así que los tres términos se invierten en impulsos en $t = 1$, $t = 2$ y $t = 3$ respectivamente.

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   Usa la linealidad para armar la respuesta. La transformada inversa es lineal, así que los coeficientes pasan sin alterarse:

   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{2}{5}\delta(t-1) + \frac{1}{5}\delta(t-2) + \frac{2}{5}\delta(t-3)$

   Se trata de un tren de tres impulsos de intensidades $0.4$, $0.2$ y $0.4$.

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   Verifica transformando de vuelta. Aplicar $\int_0^\infty \delta(t-a)e^{-st}\,dt = e^{-as}$ a cada impulso recupera exactamente $\tfrac25 e^{-s} + \tfrac15 e^{-2s} + \tfrac25 e^{-3s}$. Fíjate en que los coeficientes suman $\tfrac25 + \tfrac15 + \tfrac25 = 1$, así que la intensidad total del impulso es $1$: la misma área total que una sola $\delta(t)$, solo que repartida en tres instantes.