Cambiar el orden de integración y calcular la integral doble de e^(y³) con x de 0 a 2 e y desde la raíz cuadrada de 2x hasta 2.

Step-by-step solution

1. 1

   Se ve por qué el orden dado no lleva a ninguna parte. La integral interior pide $\int e^{y^3}\,dy$, y $e^{y^3}$ no tiene primitiva elemental. Cambiar el orden no es aquí una cuestión de estilo: es la única forma de terminar, porque integrar primero en $x$ genera un factor extra $y^2$, que es justo lo que necesita la sustitución $u=y^3$.

2. 2

   Se describe la región a partir de los límites. Los límites dicen $0\le x\le 2$ y $\sqrt{2x}\le y\le 2$. La frontera inferior $y=\sqrt{2x}$ es la mitad derecha de la parábola $y^2=2x$, es decir, $x=\dfrac{y^2}{2}$. Observa que en $x=2$ el límite inferior ya coincide con el superior $y=2$, así que la región se cierra ahí.

3. 3

   Se corta la región en franjas horizontales. Para un $y$ fijo entre $0$ y $2$, la región va del borde izquierdo $x=0$ hasta la parábola $x=\dfrac{y^2}{2}$. Así pues

   $R=\left\{(x,y):0\le y\le 2,\ 0\le x\le \tfrac{y^2}{2}\right\},\qquad \int_0^2\!\!\int_0^{y^2/2} e^{y^3}\,dx\,dy.$

4. 4

   Se calcula la integral interior. $e^{y^3}$ es constante respecto de $x$, así que solo recoge la anchura de la franja:

   $\int_0^{y^2/2}e^{y^3}\,dx=\frac{y^2}{2}\,e^{y^3}.$

5. 5

   Se sustituye $u=y^3$. Entonces $du=3y^2\,dy$, luego $y^2\,dy=\tfrac{du}{3}$, y los límites $y=0,2$ pasan a ser $u=0,8$:

   $\int_0^2\frac{y^2}{2}e^{y^3}\,dy=\frac{1}{6}\int_0^8 e^{u}\,du=\frac{1}{6}\left[e^u\right]_0^8=\frac{e^8-1}{6}.$

6. 6

   Se comprueba el orden de magnitud. $\dfrac{e^8-1}{6}\approx 496.66$, y una evaluación numérica directa de la integral iterada original también da $496.66$, así que el cambio de orden respetó correctamente la región.