Halla el volumen del sólido que se obtiene al girar alrededor del eje y la región encerrada por y = x² y x = y², usando el método de discos y arandelas.

Step-by-step solution

1. 1

   Halla los puntos de intersección. Sustituyendo $x=y^2$ en $y=x^2$ resulta $y=y^{4}$, de donde $y(y^{3}-1)=0$ y $y=0$ o $y=1$. Las curvas se cortan en $(0,0)$ y $(1,1)$, así que la región cabe dentro del cuadrado unitario.

2. 2

   Integra en y, porque el eje de giro es el eje y. Las arandelas perpendiculares al eje $y$ son horizontales, así que las dos fronteras deben escribirse como $x$ en función de $y$:

   $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x=\sqrt{y}\ \ (\text{la frontera derecha o exterior}),\qquad x=y^{2}\ \ (\text{la frontera izquierda o interior})$

   En $0<y<1$ se cumple $\sqrt y>y^{2}$ (por ejemplo en $y=\tfrac14$: $0.5>0.0625$), lo que confirma cuál es la exterior.

3. 3

   Plantea la integral de arandelas. El radio de una arandela es la distancia horizontal al eje $y$:

   $V=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\sqrt y\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy=\pi\int_{0}^{1}\left(y-y^{4}\right)dy$

4. 4

   Evalúa.

   $V=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac12-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{3}{10}$

   $\boxed{V=\dfrac{3\pi}{10}\approx 0.942}$

5. 5

   Contrasta con el método de capas. Las capas alrededor del eje $y$ se integran en $x$, con radio $x$ y altura $\sqrt x-x^{2}$:

   $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx=2\pi\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}-x^{3}\right)dx=2\pi\left(\frac25-\frac14\right)=2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{3\pi}{10}$

   Los dos métodos independientes coinciden, que es la comprobación más sólida disponible tanto de los límites como de la elección de radio exterior e interior.