Usa la definición de derivada como límite para demostrar que la derivada de 2x³ − 1 es 6x².

Step-by-step solution

1. 1

   Escribe la definición. Para $f(x)=2x^3-1$ la derivada es $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$. Toda la demostración consiste en dejar ese cociente lo bastante simple para que $h\to 0$ se convierta en una simple sustitución.

2. 2

   Desarrolla $f(x+h)$. Usando $(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3$, se obtiene $f(x+h)=2x^3+6x^2h+6xh^2+2h^3-1$.

3. 3

   Resta $f(x)$. El $2x^3$ y el $-1$ se cancelan, y queda $f(x+h)-f(x)=6x^2h+6xh^2+2h^3$. Todos los términos que sobreviven llevan al menos un factor $h$, y eso es lo que mantiene finito el cociente.

4. 4

   Divide entre $h$. Sacando $h$ como factor común queda $\frac{h\left(6x^2+6xh+2h^2\right)}{h}=6x^2+6xh+2h^2$, válido para todo $h\neq 0$, y eso es todo lo que el límite necesita.

5. 5

   Toma el límite. La expresión que queda es un polinomio en $h$, así que sustituir es legítimo: $\lim_{h\to 0}\left(6x^2+6xh+2h^2\right)=6x^2$.

6. 6

   Escribe la conclusión. Por tanto $\frac{d}{dx}(2x^3-1)=6x^2$, lo que concuerda con la regla de la potencia y confirma que la constante aditiva $-1$ no aporta nada.