Halla el límite de (2x − 3)/(x² + 3x) cuando x tiende a infinito.

Step-by-step solution

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   Identifica los grados antes de calcular. El numerador tiene grado $1$ y el denominador grado $2$. Para una función racional, cuando el grado del numerador es menor, el límite en el infinito es $0$; con grados iguales se obtiene el cociente de los coeficientes principales; y con el numerador de grado mayor se obtiene $\pm\infty$. Este problema es el primer caso, y el desarrollo de abajo simplemente lo muestra.

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   Divide numerador y denominador entre la mayor potencia del denominador, $x^{2}$.

   $\frac{2x-3}{x^{2}+3x}=\frac{\frac{2x}{x^{2}}-\frac{3}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}=\frac{\frac{2}{x}-\frac{3}{x^{2}}}{1+\frac{3}{x}}$

   Dividir entre $x^2$ (y no entre $x$) es lo que garantiza que el denominador se estabilice en una constante distinta de cero.

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   Haz que cada potencia recíproca tienda a cero. Cuando $x\to\infty$,

   $\frac{2}{x}\to 0,\qquad\frac{3}{x^{2}}\to 0,\qquad\frac{3}{x}\to 0$

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   Arma el límite.

   $\frac{0-0}{1+0}=\frac{0}{1}=0$

   Que el denominador tienda a $1$ y no a $0$ es lo que convierte esto en una evaluación legítima y no en otra indeterminación.

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   Interpreta el resultado gráficamente. El límite dice que la curva $y=\dfrac{2x-3}{x^{2}+3x}$ tiene la asíntota horizontal $y=0$. Numéricamente los valores son $0.00199$ en $x=1000$ y $0.0000020$ en $x=10^{6}$, con un decaimiento del orden de $2/x$ ✓.