Determina los valores críticos de la función y = (1/3)x³ + x² − 8x + 1, dando primero el valor menor.

Step-by-step solution

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   Ten claro qué es un valor crítico antes de derivar. Los valores críticos son los $x$ donde $y'=0$ o donde $y'$ no existe. Esta $y$ es un polinomio, así que su derivada existe en todas partes y la segunda posibilidad se descarta: todo el problema es resolver $y'=0$. El $\tfrac13$ delante de $x^{3}$ está ahí precisamente para que la derivada salga con coeficiente principal $1$.

2. 2

   Deriva término a término con la regla de la potencia. Cada término es una potencia de $x$ por una constante:

   $y'=\frac{1}{3}\cdot 3x^{2}+2x-8+0=x^{2}+2x-8$

   La constante $+1$ no aporta nada, como toda constante.

3. 3

   Iguala la derivada a cero. Los valores críticos son las soluciones de

   $x^{2}+2x-8=0$

4. 4

   Factoriza en lugar de recurrir a la fórmula general. Busca dos números cuyo producto sea $-8$ y cuya suma sea $+2$; son $+4$ y $-2$:

   $x^{2}+2x-8=(x+4)(x-2)=0$

5. 5

   Resuelve cada factor y ordena las respuestas. Igualando cada factor a cero se obtiene

   $x+4=0\ \Rightarrow\ x=-4,\qquad x-2=0\ \Rightarrow\ x=2$

   Así que los valores críticos son $x=-4$ y $x=2$, y el menor es $x=-4$.

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   Confirma tanto la derivada como las raíces. Sustituyendo, $(-4)^{2}+2(-4)-8=16-8-8=0$ y $2^{2}+2(2)-8=4+4-8=0$, así que las dos son raíces genuinas. Una derivada por diferencias centradas de la $y$ original da $-6.75$ en $x=0.5$ y $-8.96$ en $x=-1.2$, valores que coinciden con $x^{2}+2x-8$ en esos puntos, de modo que la derivada también es correcta.