Evalúa el límite de tan(2x)/sen(3x) cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba la forma. Tanto $\tan 2x$ como $\sin 3x$ se anulan en $x=0$, así que el cociente es $\frac{0}{0}$.

2. 2

   Reescribe la tangente. Usa $\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}$, con lo que la expresión se convierte en $\frac{\sin 2x}{\cos 2x\,\sin 3x}$. El coseno es inofensivo porque $\cos 0=1\neq 0$.

3. 3

   Divide numerador y denominador entre $x$. El cociente queda $\frac{\frac{\sin 2x}{x}}{\cos 2x\cdot\frac{\sin 3x}{x}}$, de modo que cada pieza trigonométrica tiene ya la forma estándar $\frac{\sin kx}{x}$.

4. 4

   Aplica el límite estándar. Con $\lim_{x\to 0}\frac{\sin kx}{x}=k$, el numerador tiende a $2$ y el factor $\frac{\sin 3x}{x}$ tiende a $3$, mientras que $\cos 2x\to 1$.

5. 5

   Combina. El límite es $\frac{2}{1\cdot 3}=\frac{2}{3}$.

6. 6

   Comprobación numérica. En $x=10^{-6}$ el cociente original vale $0.66666667$, lo que concuerda con $\frac{2}{3}$.