Calcular el límite de sin(x)/x cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Verificar la forma. Cuando $x\to0$, tanto $\sin x\to0$ como $x\to0$, así que la sustitución directa da $\tfrac00$ — indeterminado. Este límite no se puede calcular sustituyendo, y tampoco se puede calcular honestamente con L'Hôpital, porque la derivada $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ normalmente se demuestra usando precisamente este límite.

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   Plantear la comparación geométrica. Para $0<x<\tfrac{\pi}{2}$, se comparan tres áreas dentro de la circunferencia unitaria: el triángulo de área $\tfrac12\sin x$, el sector de área $\tfrac12x$ y el triángulo mayor de área $\tfrac12\tan x$. Como cada región contiene a la anterior,

   $\frac12\sin x\le\frac12x\le\frac12\tan x.$

   El término del medio es donde entra la medida en radianes: el área del sector es $\tfrac12r^{2}x$ solo cuando $x$ está en radianes.

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   Reordenar hasta obtener un encaje. Dividiendo todo entre $\tfrac12\sin x>0$ se obtiene $1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}$, y al tomar recíprocos las desigualdades se invierten:

   $\cos x\le\frac{\sin x}{x}\le1.$

   Tanto $\frac{\sin x}{x}$ como $\cos x$ son funciones pares, así que las mismas cotas valen para $-\tfrac{\pi}{2}<x<0$ y el argumento cubre ambos lados a la vez.

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   Aplicar el teorema del sándwich. Como $\cos x\to1$ y la constante $1\to1$ cuando $x\to0$, la cantidad atrapada no tiene alternativa:

   $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.$

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   Confirmar numéricamente y anotar la advertencia sobre los radianes. Evaluando en radianes: en $x=0.1$ el cociente es $0.998334$, en $x=0.01$ es $0.9999833$, en $x=0.001$ es $0.99999983$ — se acerca a $1$ por abajo, tal como indica la cota $\cos x\le\frac{\sin x}{x}$ ✓. Si $x$ se midiera en grados, el límite sería en cambio $\frac{\pi}{180}\approx0.01745$, que es justamente la razón por la que el cálculo se hace en radianes.