Halla el límite cuando x tiende a 2 de (1 + (x³ − 8)/(4x − 8)) elevado a la potencia 2x.

Step-by-step solution

1. 1

   Diagnostica la forma antes de elegir un método. En $x=2$ la fracción $\frac{x^3-8}{4x-8}$ es $\frac00$, así que la base no es evidentemente $1$; puede que esta sea o no una situación $1^\infty$. Simplifica primero la fracción interior y la forma se declarará sola.

2. 2

   Factoriza el numerador y el denominador. El numerador es una diferencia de cubos: $x^3-8 = x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x+4)$. El denominador es $4x-8 = 4(x-2)$. El factor común $x-2$ es distinto de cero durante la aproximación (nunca evaluamos en $2$), así que se cancela: $\frac{x^3-8}{4x-8} = \frac{x^2+2x+4}{4}.$

3. 3

   Reconstruye la base. $1+\frac{x^2+2x+4}{4} = \frac{4+x^2+2x+4}{4} = \frac{x^2+2x+8}{4}.$

4. 4

   Evalúa la base y el exponente por separado. Ambos son ya continuos en $x=2$. Base: $\frac{4+4+8}{4} = \frac{16}{4} = 4$. Exponente: $2x = 4$. Así que la forma es $4^4$, un límite determinado corriente; no es $1^\infty$, y no hace falta ningún truco con exponenciales o logaritmos.

5. 5

   Calcula el valor. $\lim_{x\to2}\left(1+\frac{x^3-8}{4x-8}\right)^{2x} = 4^4 = 256.$

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   Confirma numéricamente. En $x=2.0001$ la expresión vale $256.109$, y en $x=1.9999$ queda justo por debajo de $256$; se acerca a $256$ por ambos lados.