Hallar la solución particular de la ecuación diferencial f''(x) = 2 que satisface las condiciones iniciales f'(2) = 5 y f(2) = 10.

Step-by-step solution

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   Planear las dos antiderivadas y las dos constantes. Lo que se da es la segunda derivada, así que recuperar $f$ exige dos integraciones, y cada una introduce una constante arbitraria. Justamente por eso el problema entrega dos condiciones — una para eliminar cada constante. Conviene integrar en el orden $f''\to f'\to f$ y fijar cada constante apenas aparece.

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   Integrar una vez para obtener $f'$. La primitiva de la constante $2$ es $2x$:

   $f'(x)=\int 2\,dx=2x+C_{1}$

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   Usar $f'(2)=5$ para hallar $C_{1}$. Sustituyendo $x=2$:

   $f'(2)=2(2)+C_{1}=4+C_{1}$

   Igualando eso a $5$ resulta $C_{1}=1$, así que

   $f'(x)=2x+1$

   Fijar $C_1$ ahora, en lugar de arrastrarlo, mantiene limpia la segunda integración.

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   Integrar de nuevo para obtener $f$. Se antideriva $2x+1$ término a término:

   $f(x)=\int (2x+1)\,dx=x^{2}+x+C_{2}$

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   Usar $f(2)=10$ para hallar $C_{2}$. Sustituyendo $x=2$:

   $f(2)=2^{2}+2+C_{2}=6+C_{2}$

   Igualando eso a $10$ resulta $C_{2}=4$, así que la solución particular es

   $f(x)=x^{2}+x+4$

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   Verificar los tres requisitos. Al derivar se obtiene $f'(x)=2x+1$ y $f''(x)=2$, de modo que la ecuación diferencial se cumple. En $x=2$: $f'(2)=2(2)+1=5$ y $f(2)=4+2+4=10$. Las dos condiciones iniciales encajan exactamente.