Halla la integral indefinida de 1/x² − 1/(3·√x) respecto de x.

Step-by-step solution

1. 1

   Reescribe los dos términos como potencias de $x$. La regla de la potencia no se puede aplicar hasta que desaparezcan las raíces y los recíprocos:

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2},\qquad \frac{1}{3\sqrt x}=\frac13x^{-1/2}$

   Esta conversión es donde realmente se decide el problema; todo lo que viene después es mecánico.

2. 2

   Integra $x^{-2}$. Sumar uno al exponente da $-1$:

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   La regla de la potencia se aplica porque el nuevo exponente no es $-1$; solo $\int x^{-1}dx$ necesita un logaritmo en su lugar.

3. 3

   Integra $\tfrac13x^{-1/2}$. Sumar uno a $-\tfrac12$ da $+\tfrac12$:

   $\int\frac13x^{-1/2}dx=\frac13\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}x^{1/2}=\frac23\sqrt x$

   Dividir entre $\tfrac12$ duplica el coeficiente, y por eso el $\tfrac13$ se convierte en $\tfrac23$.

4. 4

   Combina con el signo menos y una sola constante.

   $\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\right)dx=-\frac1x-\frac23\sqrt x+C$

5. 5

   Deriva para verificar.

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}-\frac23x^{1/2}+C\right)=x^{-2}-\frac23\cdot\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\;\checkmark$

   Fíjate en el dominio: el integrando necesita $x>0$ por la raíz cuadrada, así que la primitiva es válida en $(0,\infty)$.