Halla el límite cuando x tiende a infinito de √((36x² − 25x + 16)/(9x² − 4x + 1)).

Step-by-step solution

1. 1

   Ocúpate primero del interior. La raíz cuadrada es continua en $[0,\infty)$, así que

   $\lim_{x\to\infty}\sqrt{g(x)} = \sqrt{\lim_{x\to\infty} g(x)}$

   siempre que el límite interior exista y sea no negativo. Así que evalúa la función racional y toma la raíz una sola vez, al final.

2. 2

   Divide numerador y denominador entre la potencia más alta, $x^2$. Este es el movimiento estándar para un límite en el infinito, y convierte cada término de orden menor en algo que se desvanece:

   $\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36 - \dfrac{25}{x} + \dfrac{16}{x^2}}{9 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$

3. 3

   Deja que los términos recíprocos tiendan a cero. Cuando $x\to\infty$, cada uno de $\tfrac{25}{x}$, $\tfrac{16}{x^2}$, $\tfrac{4}{x}$ y $\tfrac{1}{x^2}$ tiende a $0$:

   $\lim_{x\to\infty}\frac{36x^2-25x+16}{9x^2-4x+1} = \frac{36}{9} = 4$

   Como numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es simplemente el cociente de los coeficientes principales.

4. 4

   Toma la raíz cuadrada.

   $\sqrt{4} = 2$

   La respuesta es $+2$, la raíz principal; poner un $\pm$ sería incorrecto, porque la expresión de la que se habla es una raíz cuadrada no negativa en todo momento.

5. 5

   Cuídate del atajo tentador. Escribir $\sqrt{36x^2}/\sqrt{9x^2} = 6x/3x = 2$ da por casualidad el valor correcto aquí, pero solo porque ambos coeficientes principales son cuadrados perfectos y $x > 0$. La vía segura es reducir siempre primero el interior.

6. 6

   Verifica con números. En $x = 1000$: el numerador $= 36{,}000{,}000 - 25{,}000 + 16 = 35{,}975{,}016$, el denominador $= 9{,}000{,}000 - 4{,}000 + 1 = 8{,}996{,}001$, el cociente $= 3.999001$ y la raíz cuadrada $= 1.999750$. En $x = 10^6$ la raíz vale $1.99999975$ ✓: converge a $2$, y un límite simbólico devuelve exactamente $2$.