Calcula la integral de sen^n(x) de 0 a π/2 para un entero no negativo n.

Step-by-step solution

1. 1

   Separa un seno e integra por partes. Escribe $\sin^{n}x=\sin^{n-1}x\cdot\sin x$ y toma

   $u=\sin^{n-1}x,\qquad dv=\sin x\,dx\ \Longrightarrow\ du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\,dx,\quad v=-\cos x$

   El término de frontera $\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_{0}^{\pi/2}$ se anula en los dos extremos —$\cos\tfrac\pi2=0$ arriba y $\sin 0=0$ abajo—, que es exactamente el motivo por el que se eligen estos límites.

2. 2

   Convierte $\cos^{2}$ de nuevo en $\sin$. Lo que queda es

   $I_{n}=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^{2}x\,dx=(n-1)\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n-2}x\left(1-\sin^{2}x\right)dx$

   de modo que

   $I_{n}=(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}$

   La integral original reaparece en el miembro derecho, lo que indica que hay que despejarla algebraicamente en vez de volver a integrar.

3. 3

   Despeja $I_{n}$ para obtener la fórmula de reducción. Sumando $(n-1)I_{n}$ a los dos miembros resulta $nI_{n}=(n-1)I_{n-2}$, de donde

   $I_{n}=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2}$

   Cada aplicación baja el índice en dos, así que la recursión termina en $I_{0}$ o en $I_{1}$ según la paridad de $n$.

4. 4

   Calcula los dos casos base.

   $I_{0}=\int_{0}^{\pi/2}1\,dx=\frac{\pi}{2},\qquad I_{1}=\int_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=\left[-\cos x\right]_{0}^{\pi/2}=1$

   Estos son la única fuente del $\pi$: solo sobrevive en la cadena par.

5. 5

   Desenrolla la recursión hasta las fórmulas de Wallis.

   $I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 1}{n(n-2)\cdots 2}\cdot\frac{\pi}{2}\ \ (n\text{ par}),\qquad I_{n}=\frac{(n-1)(n-3)\cdots 2}{n(n-2)\cdots 3}\ \ (n\text{ impar})$

   Por ejemplo, $I_{4}=\tfrac34\cdot\tfrac12\cdot\tfrac\pi2=\tfrac{3\pi}{16}=0.58905$ e $I_{5}=\tfrac45\cdot\tfrac23=\tfrac{8}{15}=0.53333$.

6. 6

   Fíjate en la fórmula única que cubre las dos paridades. Usando la función Gamma,

   $\int_{0}^{\pi/2}\sin^{n}x\,dx=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{n+1}{2}\right)}{2\,\Gamma\!\left(\frac{n}{2}+1\right)}$

   La integración numérica para $n=0$ hasta $7$ coincide con ella hasta diez decimales en todos los casos ✓, y además extiende el resultado a valores no enteros $n>-1$.