Calcula la integral de 0 a π/2 de √(1 + tan²(0.8) sen²(β)) respecto de β.

Step-by-step solution

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   Identifica la forma estándar. La integral elíptica completa de segunda especie es

   $E(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\theta}\;d\theta$

   Igualar $\sqrt{1-m\sin^{2}\beta}$ con $\sqrt{1+\tan^{2}(0.8)\sin^{2}\beta}$ exige $-m=\tan^{2}(0.8)$, o sea $m=-\tan^{2}(0.8)$ — un parámetro negativo, perfectamente lícito, que solo significa que el integrando queda por encima de $1$ en lugar de por debajo.

2. 2

   Calcula el parámetro.

   $\tan(0.8)\approx1.02963856,\qquad\tan^{2}(0.8)\approx1.06015556$

   así que $m\approx-1.06015556$ y $I=E\left(-1.06015556\right)$. Fíjate en que esta integral no tiene forma cerrada elemental: por eso precisamente lleva un nombre propio.

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   Pasa a un parámetro positivo (opcional, pero aclaratorio). Sacando la constante como factor,

   $\sqrt{1+k^{2}\sin^{2}\beta}=\sqrt{1+k^{2}}\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cos^{2}\beta}$

   con $k^{2}=\tan^{2}(0.8)$, lo que da $I=\sqrt{1+k^{2}}\;E\!\left(\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\right)$, donde ahora $\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\approx0.51460$ está en $[0,1]$ y $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.435324$.

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   Acota la respuesta antes de calcularla. El integrando va de $1$ en $\beta=0$ hasta $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.4353$ en $\beta=\tfrac\pi2$. Al multiplicar por la longitud del intervalo $\tfrac\pi2\approx1.5708$, la integral queda acotada entre $1.5708$ y $2.2546$ — así que cualquier respuesta fuera de ese rango está mal a simple vista.

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   Evalúa numéricamente. Tres métodos independientes — regla del trapecio con $4\times10^{6}$ nodos, cuadratura de Gauss–Legendre con $200$ nodos y Gauss–Legendre aplicada a la forma transformada de parámetro positivo — coinciden todos:

   $I\approx1.9280090$

   Esto cae cómodamente dentro de la cota del paso anterior ✓. Cuidado con los valores publicados en este caso: una cifra cercana pero incorrecta, $1.92274$, difiere ya en la tercera cifra decimal, muy por fuera de la concordancia de estos tres métodos.