Calcula la integral triple de yz sobre la región 0 ≤ x ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ 2, y² ≤ z ≤ 4.

Step-by-step solution

1. 1

   Comprueba que los límites son coherentes. Para $0 \le y \le 2$ se cumple $y^2 \le 4$, así que el rango interno $y^2 \le z \le 4$ no es vacío en ningún punto y se reduce a un solo punto únicamente en $y = 2$. La región es el sólido comprendido entre la superficie parabólica $z = y^2$ y el plano $z = 4$, extruido a lo largo de $x$.

2. 2

   Integra en z, ahora con un límite inferior variable.

   $\int_{y^2}^{4} yz\,dz = y\left[\frac{z^2}{2}\right]_{y^2}^{4} = y\left(\frac{16}{2} - \frac{y^4}{2}\right) = 8y - \frac{y^5}{2}$

   Al elevar al cuadrado el límite inferior queda $(y^2)^2 = y^4$; olvidar elevarlo dejaría $y^2$ y cambiaría el resultado.

3. 3

   Integra en y desde 0 hasta 2.

   $\int_0^2 \left(8y - \frac{y^5}{2}\right) dy = \left[4y^2 - \frac{y^6}{12}\right]_0^2 = 16 - \frac{64}{12} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$

4. 4

   Integra en x: el integrando ya no depende de x. Como nada en la expresión reducida contiene $x$, este paso se limita a multiplicar por la longitud del intervalo en $x$:

   $\int_0^{2\pi} \frac{32}{3}\,dx = \frac{32}{3}\cdot 2\pi = \frac{64\pi}{3}$

5. 5

   Enuncia el resultado y contrástalo.

   $\iiint yz\,dV = \frac{64\pi}{3} \approx 67.02$

   Compáralo con el problema gemelo en el que $z$ va de $0$ a $y^2$: aquel da $\frac{32\pi}{3}$, y los dos juntos deben sumar la integral sobre la caja completa $0 \le z \le 4$, es decir, $2\pi \cdot \int_0^2 y\,dy \cdot \int_0^4 z\,dz = 2\pi \cdot 2 \cdot 8 = 32\pi$. En efecto, $\frac{64\pi}{3} + \frac{32\pi}{3} = 32\pi$: una comprobación de consistencia completa.