Calcula la integral doble de xy por sen(xy²) sobre la región 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π.

Step-by-step solution

1. 1

   Detecta la sustitución escondida en el integrando. El argumento del seno es $xy^2$ y el factor de fuera es $xy$. Como $\frac{d}{dy}(xy^2) = 2xy$, el factor de fuera es la mitad de la derivada de lo de dentro — la firma de un cambio de variable limpio en $y$. Integrar primero en $x$ no saldría ni de cerca tan bien, así que conserva el orden dado $dy\,dx$.

2. 2

   Sustituye en la integral interior manteniendo x fija. Toma

   $u = xy^2, \qquad du = 2xy\,dy \ \Longrightarrow \ xy\,dy = \tfrac12\,du$

   Los límites se mueven junto con la variable: $y = 0$ da $u = 0$, y $y = \pi$ da $u = x\pi^2$. Entonces

   $\int_0^{\pi} xy\sin(xy^2)\,dy = \frac{1}{2}\int_0^{x\pi^2} \sin u\,du$

3. 3

   Evalúa la integral interior.

   $\frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_0^{x\pi^2} = \frac{1}{2}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right)$

   El $x$ que estaba fuera quedó absorbido por la sustitución, y por eso no sobrevive ningún factor $x$ suelto.

4. 4

   Integra el resultado en x.

   $I = \frac{1}{2}\int_0^{\pi}\left(1 - \cos(x\pi^2)\right) dx = \frac{1}{2}\left(\pi - \left[\frac{\sin(x\pi^2)}{\pi^2}\right]_0^{\pi}\right)$

   El $\frac{1}{\pi^2}$ viene de la regla de la cadena: aquí $\pi^2$ es una constante que multiplica a $x$ dentro del coseno.

5. 5

   Arma el resultado y evalúalo.

   $I = \frac{\pi}{2} - \frac{\sin(\pi^3)}{2\pi^2}$

   Con $\pi^3 \approx 31.00628$ y $\sin(\pi^3) \approx -0.39829$:

   $I \approx 1.570796 + 0.020178 = 1.590974$

   Una cuadratura bidimensional directa da $1.59097384$, que coincide.