Resuelve la ecuación diferencial dy/dx = y.

Step-by-step solution

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   Reconocer la ecuación y lo que dice. La tasa de cambio es igual a la cantidad misma: la propiedad que define el crecimiento exponencial. Es separable, ya que el lado derecho depende solo de $y$. Conviene notar de inmediato que $y=0$ es una solución constante, porque entonces ambos lados valen $0$; habrá que recuperarla al final.

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   Separar las variables. Suponiendo por el momento que $y\neq0$, se divide entre $y$ y se multiplica por $dx$:

   $\frac{1}{y}\,dy=dx$

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   Integrar ambos lados.

   $\int\frac{1}{y}\,dy=\int1\,dx\qquad\Longrightarrow\qquad \ln|y|=x+C$

   El valor absoluto es obligatorio porque $\ln$ de un número negativo no está definido, y es justamente lo que permite que sobrevivan las soluciones negativas.

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   Exponenciar para liberar y.

   $|y|=e^{x+C}=e^{C}e^{x}$

   Aquí $e^C$ es una constante positiva arbitraria.

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   Absorber el signo dentro de la constante. Quitar el valor absoluto introduce un $\pm$: $y=\pm e^{C}e^{x}$. Como $\pm e^{C}$ recorre todos los reales no nulos, se le renombra $C$:

   $y=Ce^{x}$

   Permitir ahora $C=0$ además restaura la solución constante $y=0$ que el paso 2 había excluido, así que esta sola fórmula es la solución general completa.

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   Verificar derivando. Si $y=Ce^x$ entonces $\dfrac{dy}{dx}=Ce^x=y$ ✓: la ecuación se cumple para todo $C$. Al comprobar numéricamente con $C=1.7$ en $x=-1,\,0.3,\,2.2$, el cociente de diferencias simétrico coincide con $y$ hasta siete dígitos ✓.