Halla el límite de (eˣ − 1)/x cuando x tiende a 0.

Step-by-step solution

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   Comprueba la forma. Sustituir $x=0$ da $\dfrac{e^0-1}{0}=\dfrac{0}{0}$, una indeterminación. La sustitución directa no sirve, así que el límite hay que establecerlo por alguna de las vías estándar.

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   Vía 1: reconoce una derivada. El cociente incremental de $f(x)=e^{x}$ en el punto $0$ es exactamente esta expresión:

   $f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$

   Como $f^{\prime}(x)=e^{x}$ y $f^{\prime}(0)=e^{0}=1$, el límite vale $1$. Esta es la lectura más fundamental: el límite es la afirmación de que $e^x$ tiene pendiente $1$ en el origen.

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   Vía 2: usa la serie de Maclaurin. A partir de $e^{x}=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+\cdots$,

   $\frac{e^{x}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\cdots\longrightarrow 1$

   Esta vía da más que el límite: muestra que el cociente se acerca a $1$ de forma lineal, como $1+\tfrac{x}{2}$.

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   Vía 3: la regla de L'Hôpital. Derivando por separado el numerador y el denominador:

   $\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{1}=1$

   Ten en cuenta que esto es ligeramente circular si se usa para demostrar el resultado, ya que calcular $\tfrac{d}{dx}e^x$ se apoya justamente en este mismo límite. Como cálculo, sin embargo, es inmediato y correcto.

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   Confirma numéricamente y observa la coincidencia lateral. En $x=0.001$ el cociente vale $1.0005002$; en $x=-0.001$ vale $0.9995002$. Los dos lados se acercan a $1$, y las desviaciones son $\pm 0.0005\approx\tfrac{x}{2}$, exactamente como predecía la serie $\checkmark$.