Calcula la integral de ln x respecto de x desde 0 hasta 1.

Step-by-step solution

1. 1

   Notar que la integral es impropia antes de calcular nada. $\ln x\to-\infty$ cuando $x\to0^+$, así que el integrando no está acotado en el extremo inferior. La integral debe definirse como un límite:

   $\int_0^1\ln x\,dx=\lim_{a\to0^+}\int_a^1\ln x\,dx$

   Saltarse esto y sustituir directamente $0$ produce la expresión indefinida $0\cdot\ln 0$.

2. 2

   Hallar la primitiva integrando por partes. Se toma $u=\ln x$ y $dv=dx$, de donde $du=\tfrac{dx}{x}$ y $v=x$:

   $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,dx=x\ln x-x+C$

   Elegir $dv=dx$ es lo que hace funcionar el método: convierte $\ln x$ en $1/x$, que luego se cancela contra $v=x$.

3. 3

   Evaluar en $[a,1]$.

   $\int_a^1\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_a^1=(0-1)-(a\ln a-a)=-1-a\ln a+a$

4. 4

   Tomar el límite en el extremo singular. El único término delicado es $a\ln a$. Escribiéndolo como $\dfrac{\ln a}{1/a}$ y aplicando L'Hôpital se obtiene $\dfrac{1/a}{-1/a^2}=-a\to0$. Así que

   $\lim_{a\to0^+}\left(-1-a\ln a+a\right)=-1$

   La integral converge aunque el integrando se dispare: la singularidad es logarítmica y, por tanto, integrable.

5. 5

   Contrastar el signo y el orden de magnitud. En $(0,1)$ se tiene $\ln x<0$, así que cabía esperar una respuesta negativa. El valor medio de $\ln x$ sobre $[0,1]$ es entonces $-1$, lo que concuerda con $e^{-1}\approx0.368$ como el punto donde $\ln x$ alcanza su promedio, coherente con la gráfica ✓.