Sea f(x) la suma desde n = 1 hasta infinito de xⁿ / n², el dilogaritmo Li2(x). ¿Es f derivable en x = −1?

Step-by-step solution

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   Ubicar x = −1 respecto del intervalo de convergencia. El criterio del cociente da radio $R=1$, y en ambos extremos $\sum \tfrac{(\pm 1)^n}{n^2}$ converge absolutamente (está dominada por $\sum 1/n^2$). Así que $f$ está definida en el intervalo cerrado $[-1,1]$, y $x=-1$ es un extremo, y por eso justamente la pregunta no es automática. Dentro de $(-1,1)$ la derivabilidad es gratuita; en un extremo hay que argumentarla.

2. 2

   Derivar término a término dentro del intervalo. Para $|x|<1$,

   $f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n x^{n-1}}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=-\frac{\ln(1-x)}{x}$

   usando $\sum_{n\ge 1}\tfrac{t^n}{n}=-\ln(1-t)$ con $t=x$ y dividiendo después entre $x$.

3. 3

   Probar la serie derivada en el extremo. Poner $x=-1$ en la serie de la derivada da

   $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=1-\frac12+\frac13-\frac14+\cdots$

   La serie armónica alternada converge (por el criterio de series alternadas) a $\ln 2$. Esta es la diferencia decisiva con el caso $x=+1$, donde la misma serie se vuelve la serie armónica divergente y la derivada no existe.

4. 4

   Pasar de la convergencia a la derivabilidad con el teorema de Abel. Como la serie derivada converge en $x=-1$, converge uniformemente en $[-1,0]$, y una serie de derivadas uniformemente convergente se puede integrar o derivar término a término hasta el extremo inclusive. Por lo tanto $f$ es derivable en $x=-1$ (por un lado dentro de $[-1,1]$, y por ambos lados si se usa la prolongación analítica de $\operatorname{Li}_2$ más allá de $-1$) con

   $f'(-1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}=\ln 2$

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   Confirmar con la forma cerrada. La fórmula $f'(x)=-\tfrac{\ln(1-x)}{x}$ es continua en $x=-1$ y da

   $f'(-1)=-\frac{\ln 2}{-1}=\ln 2\approx 0.6931$

   que coincide con el valor de la serie. (Como referencia, $f(-1)=\sum \tfrac{(-1)^n}{n^2}=-\tfrac{\pi^2}{12}$.)

   $\boxed{\text{Sí; }f'(-1)=\ln 2\approx 0.693}$

6. 6

   Contrastar los dos extremos. En $x=1$ el cociente incremental $\tfrac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n\ge 1}\tfrac{1+x+\cdots+x^{n-1}}{n^2}$ tiende a $\sum \tfrac{1}{n}=\infty$, así que ahí $f$ tiene tangente vertical y no es derivable. El único factor extra $(-1)^n$ en $x=-1$ transforma una serie divergente en una convergente: toda la respuesta depende de eso.