Deriva y simplifica el resultado: g(x) = e^x · ln(x² + 1) / (√(sen x) + 2).

Step-by-step solution

1. 1

   Traza la estructura antes de derivar nada. Esto es un cociente cuyo numerador es a su vez un producto y cuyo denominador esconde una regla de la cadena. Poner nombre a las piezas mantiene las cuentas en orden:

   $g(x)=\frac{u(x)}{v(x)},\qquad u(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right),\qquad v(x)=\sqrt{\sin x}+2$

   y la herramienta exterior es la regla del cociente

   $g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{\left[v(x)\right]^{2}}$

2. 2

   Deriva el numerador con la regla del producto y una regla de la cadena interior. Con $\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ y $\left(\ln\left(x^{2}+1\right)\right)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ (regla de la cadena sobre el $\ln$ de $x^{2}+1$):

   $u'(x)=e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)+e^{x}\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}=e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\frac{2x}{x^{2}+1}\right)$

   Sacar factor común $e^{x}$ desde el principio acorta el álgebra posterior.

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   Deriva el denominador. Escribe $\sqrt{\sin x}=\left(\sin x\right)^{1/2}$ y aplica la regla de la cadena; la constante $2$ no aporta nada:

   $v'(x)=\frac{1}{2}\left(\sin x\right)^{-1/2}\cos x=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

4. 4

   Ensambla la regla del cociente. Sustituyendo las cuatro piezas:

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-e^{x}\ln\left(x^{2}+1\right)\cdot\dfrac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

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   Simplifica sacando el $e^{x}$ común. Los dos términos del numerador llevan $e^{x}$, así que se extrae:

   $g'(x)=\frac{e^{x}\left[\left(\ln\left(x^{2}+1\right)+\dfrac{2x}{x^{2}+1}\right)\left(\sqrt{\sin x}+2\right)-\dfrac{\ln\left(x^{2}+1\right)\cos x}{2\sqrt{\sin x}}\right]}{\left(\sqrt{\sin x}+2\right)^{2}}$

   No queda ninguna cancelación más, porque el logaritmo y el radical no comparten factores.

6. 6

   Anota el dominio y comprueba numéricamente. La fórmula exige $\sin x>0$, estrictamente positivo y no solo no negativo, porque tras derivar $\sqrt{\sin x}$ queda en un denominador, así que $x\in(2k\pi,(2k+1)\pi)$. Al comparar con una diferencia central de $g$ con $h=10^{-6}$ en $x=0.5,1,2,2.9$ se obtiene $0.5943697$, $1.5124325$, $6.3252411$ y $27.3951392$ tanto con la fórmula como con la derivada numérica: coinciden en siete cifras significativas.