Calcula la integral de 5y^(2/5) respecto de y.

Step-by-step solution

1. 1

   Saca la constante fuera. Un factor numérico atraviesa la integral sin cambios:

   $\int 5y^{2/5}\,dy=5\int y^{2/5}\,dy$

2. 2

   Aplica la regla de la potencia para integrar. Para $n\neq -1$:

   $\int y^n\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C$

   Aquí $n=\tfrac25$, que está lejos del valor excluido $-1$, así que la regla se puede aplicar.

3. 3

   Suma uno al exponente. Usando denominador común $5$:

   $\frac{2}{5}+1=\frac{2}{5}+\frac{5}{5}=\frac{7}{5}$

   $\int y^{2/5}\,dy=\frac{y^{7/5}}{7/5}$

4. 4

   Convierte la división entre una fracción en una multiplicación. Dividir entre $\tfrac75$ es multiplicar por $\tfrac57$:

   $5\cdot\frac{5}{7}y^{7/5}=\frac{25}{7}y^{7/5}$

   así que la primitiva es $\tfrac{25}{7}y^{7/5}+C$.

5. 5

   Comprueba derivando de vuelta. La derivada tiene que reproducir el integrando:

   $\frac{d}{dy}\left(\frac{25}{7}y^{7/5}\right)=\frac{25}{7}\cdot\frac{7}{5}y^{2/5}=5y^{2/5}\qquad\checkmark$

   Numéricamente, en $y=2$ la derivada vale $5\cdot 2^{0.4}\approx 6.5975$, que coincide con un cociente incremental numérico de la primitiva $\checkmark$.