Halla la integral indefinida de e^x/x respecto de x.

Step-by-step solution

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   Prueba las técnicas habituales y observa cómo fallan. La sustitución necesita que la derivada de la función interior aparezca como factor, y ni $u=x$ ni $u=e^x$ producen el $\tfrac1x$. La integración por partes solo traslada la dificultad: tomando $u=e^x$, $dv=\tfrac{dx}{x}$ se llega a $e^x\ln x-\int e^x\ln x\,dx$, que es peor. Esto es una señal, no mala suerte.

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   Enuncia el resultado real. Por el teorema de Liouville sobre integración elemental, $\dfrac{e^x}{x}$ no tiene primitiva elemental: ninguna combinación finita de polinomios, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y radicales tiene esa derivada. En su lugar, la primitiva recibe un nombre propio:

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+C$

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   Define la integral exponencial. Una definición estándar es

   $\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt$

   tomada como valor principal de Cauchy, porque el integrando se dispara en $t=0$. Por el teorema fundamental del cálculo, derivar esta definición devuelve el integrando:

   $\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(x)=\frac{e^x}{x}$

   que es exactamente la propiedad que se le exige a una primitiva.

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   Ten en cuenta que hay una serie disponible si se quiere una fórmula. Desarrollando $e^x=\sum_{n\ge0}\tfrac{x^n}{n!}$ y dividiendo entre $x$:

   $\frac{e^x}{x}=\frac1x+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{n!}$

   Integrando término a término se obtiene

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\ln|x|+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n\cdot n!}+C$

   que es igual a $\operatorname{Ei}(x)-\gamma$ para $x>0$, siendo $\gamma\approx0.5772$ la constante de Euler-Mascheroni. Esta es la manera práctica de calcular valores.

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   Contrasta con las integrales que sí funcionan. $\int e^x\,dx=e^x+C$ y $\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$ son ambas elementales; es solo su cociente el que se escapa. De igual modo, $\int e^{-x^2}dx$ y $\int\tfrac{\sin x}{x}dx$ no son elementales, mientras que $\int xe^{x}dx$ no da problema: no hay una regla práctica sencilla, y por eso el teorema importa.

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   Comprueba la serie con números. En $x=1$ la serie truncada $\ln1+\sum_{n=1}^{20}\tfrac{1}{n\cdot n!}=1.31790$, y $\operatorname{Ei}(1)-\gamma=1.89512-0.57722=1.31790$ ✓: ambas coinciden, lo que confirma la integración término a término.