Evalúa la integral doble de x por e elevado a menos y cuadrado sobre la región donde √y/3 ≤ x ≤ √y/2 y 0 ≤ y < ∞.

Step-by-step solution

1. 1

   Integra primero en $x$: el orden ya es el conveniente. La región está acotada a izquierda y derecha por curvas dadas como $x$ en función de $y$, así que $dx$ va por dentro. Y $e^{-y^{2}}$ es una constante para esa integración interior, lo cual importa porque $e^{-y^{2}}$ no tiene primitiva elemental en $y$; posponerlo es esencial.

   $\int_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2}.$

2. 2

   Evalúa el corchete. Elevar al cuadrado los límites elimina las raíces: $(\sqrt y/2)^{2}=y/4$ y $(\sqrt y/3)^{2}=y/9$. Entonces

   $\frac12\left(\frac{y}{4}-\frac{y}{9}\right)=\frac12\cdot\frac{9y-4y}{36}=\frac{5y}{72}.$

   La franja pondera entonces cada $y$ con $5y/72$, un factor lineal en $y$: exactamente el factor que volverá elemental la integral exterior.

3. 3

   Redúcelo a una sola integral.

   $\int_{0}^{\infty}\frac{5y}{72}e^{-y^{2}}\,dy=\frac{5}{72}\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy.$

4. 4

   Sustituye $u=y^{2}$. Entonces $du=2y\,dy$, así que $y\,dy=\tfrac12\,du$, y los límites $y=0,\infty$ pasan a ser $u=0,\infty$:

   $\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy=\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty}=\frac12.$

   Esta es la razón de que el límite superior impropio no dé problemas: el factor extra de $y$ convierte una gaussiana en una exponencial simple.

5. 5

   Multiplica los dos factores y comprueba numéricamente.

   $\frac{5}{72}\cdot\frac12=\frac{5}{144}.$

   La cuadratura adaptativa aplicada a $\int_{0}^{\infty}\tfrac{5y}{72}e^{-y^{2}}dy$ devuelve $0.0347222222$, y $5/144=0.034722\overline{2}$: coinciden en diez cifras.