Halla el volumen del sólido que se forma al girar 360° alrededor del eje x la región limitada por y = x² + 5, el eje x, el eje y y la recta x = 5.

Step-by-step solution

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   Delimita la región y elige un método. Las cuatro fronteras dan $0\le x\le 5$ (el eje $y$ es $x=0$) y $0\le y\le x^2+5$. Como $x^2+5>0$ en todo $[0,5]$, la curva nunca cruza el eje de giro y la región toca ese eje a lo largo de toda su base, así que cada sección perpendicular al eje $x$ es un disco completo, no una arandela. El método de los discos es la elección directa; el de capas exigiría partir la región en $y=5$ y da más trabajo.

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   Escribe la integral del método de los discos. Una rebanada situada en $x$, de espesor $dx$, barre un disco de radio $R(x)=y=x^2+5$ y área $\pi R(x)^2$, de modo que

   $V=\pi\int_0^5 \left(x^2+5\right)^2 dx.$

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   Desarrolla el cuadrado antes de integrar. Aquí no hay atajo de regla de la cadena ($\int (x^2+5)^2dx \ne \tfrac{(x^2+5)^3}{3}$, porque la derivada de lo de dentro no es constante), así que primero hay que multiplicar:

   $\left(x^2+5\right)^2=x^4+10x^2+25.$

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   Integra término a término. Cada término es una potencia sencilla:

   $V=\pi\int_0^5\left(x^4+10x^2+25\right)dx=\pi\left[\frac{x^5}{5}+\frac{10x^3}{3}+25x\right]_0^5.$

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   Sustituye los límites. En $x=5$: $\tfrac{5^5}{5}=625$, $\tfrac{10\cdot 125}{3}=\tfrac{1250}{3}$ y $25\cdot 5=125$. El límite inferior aporta $0$. Sumando con denominador común $3$:

   $625+125+\frac{1250}{3}=\frac{1875+375+1250}{3}=\frac{3500}{3}.$

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   Enuncia el volumen. Por tanto

   $V=\frac{3500\pi}{3}\approx 3665.19\text{ unidades cúbicas}.$

   Una evaluación numérica de $\pi\int_0^5(x^2+5)^2dx$ da $3665.1914$, lo que confirma el valor exacto.